对数运算法则 —— 一次性擦亮这把旧兵器

本课导读

这是基础知识回顾章节的第一课。对数（log）你早就学过，但它在微积分里出场率极高——$\displaystyle\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C$、对数求导法、把 $a^x$ 改写成 $e^{x\ln a}$……手一生，后面每一步都磕绊。本课做两件事：把全部运算法则一次性摆上桌（只列不推导，配翻车点），然后用四组共 32 道习题把手感磨回来。预计 45 分钟，熟练的组可以快进。

一、定义与两对互逆关系

一切法则的根：对数就是指数的反问法。

$$\log_a x = y \quad\Longleftrightarrow\quad a^y = x \qquad (a > 0,\ a \neq 1,\ x > 0)$$

读法："$a$ 的多少次方等于 $x$？答案记作 $\log_a x$。"比如 $\log_2 8 = 3$，因为 $2^3 = 8$。

三个记号约定：

记号	含义	微积分里的地位
$\ln x$	$\log_e x$（自然对数，底为 $e \approx 2.718$）	绝对主角，求导积分公式全用它
$\log x$	国内教材多指 $\log_{10} x$（常用对数）	偶尔出现，计算器时代的遗产
$\log_a x$	任意底	一律用换底公式转成 $\ln$ 处理

两对互逆关系（对数和指数互相"抵消"，微积分变形的核心武器）：

$$a^{\log_a x} = x \qquad \log_a\left(a^x\right) = x$$

取 $a = e$ 就是最常用的版本：$e^{\ln x} = x$、$\ln(e^x) = x$。

两个免费特值：$\log_a 1 = 0$（任何数的 0 次方是 1）、$\log_a a = 1$。

二、三大运算法则

设 $M, N > 0$，$k$ 为任意实数：

#	法则	公式	一句话记忆
①	积化和	$\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$	乘法降级成加法
②	商化差	$\log_a\dfrac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$	除法降级成减法
③	幂提前	$\log_a\left(M^k\right) = k\log_a M$	指数搬到前面当系数

三条其实是一条：对数把"乘除幂"各降一级变成"加减乘"——这正是当年发明对数的动机（把天文数字的乘法变成查表加法）。

三、换底公式

$$\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a} = \frac{\log_c b}{\log_c a} \qquad (c > 0,\ c \neq 1)$$

微积分里它只有一个用途：把杂牌底换成 $e$。例如 $\log_2 x = \dfrac{\ln x}{\ln 2}$，其中 $\dfrac{1}{\ln 2}$ 只是个常数系数，求导时原封不动拎在外面。

顺手记一个推论（分子分母对调 = 倒数）：

$$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$$

四、给微积分的两个预备变形

后面 S4 积分、S5 微分方程会反复用到，现在先亮相：

变形 1 · 万能改写 —— 任何指数式都能写成 $e$ 的形式：

$$a^x = e^{x\ln a} \qquad\text{例：} 5^x = e^{x\ln 5},\quad x^x = e^{x\ln x}$$

原理就是互逆关系：$a = e^{\ln a}$，再用幂的幂。求导 $a^x$、处理 $x^x$ 全靠它。

变形 2 · 先拆再算 —— 对复杂乘除幂结构，先用法则 ①②③ 拆成加减式再动手（对数求导法的第一步）：

$$\ln\frac{x^3\sqrt{x^2+1}}{(x+2)^5} = 3\ln x + \tfrac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right) - 5\ln(x+2)$$

一个"大怪物"变成三个"小兵"，逐项求导不费力——这招在 S5 的例题里已经出现过。

✍️ 习题工坊

四组由浅入深。建议全部动笔——复健的关键不是"看懂"，是"手熟"。每组做完再开答案对照。

第 A 组 · 求值热身（10 题）

只用定义和互逆关系，心算或一行搞定：

1. $\log_2 32$
2. $\log_9 3$
3. $\log_{10} 0.001$
4. $\ln e^7$
5. $\ln\sqrt{e}$
6. $\log_5 1$
7. $2^{\log_2 9}$
8. $e^{2\ln 3}$
9. $\log_4 8$
10. $\log_{1/2} 8$

✅ 第 A 组参考答案

1. $5$（$2^5 = 32$）
2. $\tfrac{1}{2}$（$9^{1/2} = 3$）
3. $-3$（$10^{-3} = 0.001$）
4. $7$（互逆关系直接消）
5. $\tfrac{1}{2}$（$\sqrt{e} = e^{1/2}$）
6. $0$（免费特值）
7. $9$（互逆关系另一半：$a^{\log_a x} = x$）
8. $9$（先幂提前：$e^{2\ln 3} = e^{\ln 3^2} = 3^2$——第 8 题和第 7 题是同一件事的两副面孔）
9. $\tfrac{3}{2}$（$4^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$；或换底 $\frac{\ln 8}{\ln 4} = \frac{3\ln 2}{2\ln 2}$）
10. $-3$（$(1/2)^{-3} = 2^3 = 8$；底小于 1 时对数"反着走"，别漏负号）

第 B 组 · 展开与合并（8 题）

法则 ①②③ 的正反向操练。默认所有字母取值使真数为正。

展开（拆成单项对数的加减式）：

1. $\ln\dfrac{x^2 y}{z}$
2. $\log_2\left(8x^3\right)$
3. $\ln\sqrt{\dfrac{x}{x+1}}$
4. $\ln\left(e^2 x^5\right)$

合并（收成单个对数）：

5. $2\ln x + 3\ln y - \ln z$
6. $\tfrac{1}{2}\log x - 2\log y$
7. $\ln 2 + \ln 3 - \ln 6$
8. 判断题：$\ln(x + y)$ 能否用运算法则继续展开？

✅ 第 B 组参考答案

1. $2\ln x + \ln y - \ln z$
2. $3 + 3\log_2 x$（别忘了 $\log_2 8 = 3$ 这个常数项）
3. $\tfrac{1}{2}\left[\ln x - \ln(x+1)\right]$（根号 = $\tfrac{1}{2}$ 次幂，先提前再拆商；注意 $\ln(x+1)$ 到此为止，不能再拆）
4. $2 + 5\ln x$（$\ln e^2 = 2$）
5. $\ln\dfrac{x^2 y^3}{z}$
6. $\log\dfrac{\sqrt{x}}{y^2}$
7. $\ln\dfrac{2 \times 3}{6} = \ln 1 = 0$
8. 不能。"和的对数"没有展开公式——这是翻车点第 1 条，本组埋它就是为了让你亲手拒绝一次

第 C 组 · 解方程（8 题）

指数方程用"两边取 $\ln$"，对数方程用"改写回指数式"，解完验根。

1. $2^x = 10$
2. $e^{2x} = 5$
3. $\ln x = -1$
4. $\log_3(x - 2) = 2$
5. $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3$
6. $5 \cdot 3^x = 40$
7. $(\ln x)^2 = 4$
8. $2^{x+1} = 3^x$

✅ 第 C 组参考答案

1. 两边取 $\ln$：$x\ln 2 = \ln 10$，$x = \dfrac{\ln 10}{\ln 2} \approx 3.32$（也可直接写 $x = \log_2 10$，换底公式说这是同一个数）
2. $2x = \ln 5$，$x = \dfrac{\ln 5}{2}$
3. 改写回指数式：$x = e^{-1} = \dfrac{1}{e}$
4. $x - 2 = 3^2 = 9$，$x = 11$（验根：真数 $9 > 0$ ✓）
5. 合并：$\log_2\left[x(x-2)\right] = 3$，即 $x^2 - 2x = 8$，解得 $x = 4$ 或 $x = -2$。验根：$x = -2$ 使原方程两个真数都为负，舍去。答案 $x = 4$。——不验根就中招，这就是翻车点第 4 条
6. 先孤立指数式：$3^x = 8$，$x = \dfrac{\ln 8}{\ln 3} = \dfrac{3\ln 2}{\ln 3}$
7. $\ln x = 2$ 或 $\ln x = -2$，故 $x = e^2$ 或 $x = e^{-2}$（两根都使真数为正，都保留）。注意 $(\ln x)^2$ 不是 $2\ln x$——翻车点第 2 条现场执法
8. 两边取 $\ln$：$(x+1)\ln 2 = x\ln 3$，整理 $x(\ln 3 - \ln 2) = \ln 2$，$x = \dfrac{\ln 2}{\ln(3/2)} \approx 1.71$

第 D 组 · 微积分预热变形（6 题）

不求导不积分，只做 S4/S5 里天天出现的"赛前变形"：

1. 把 $7^x$ 写成以 $e$ 为底的形式
2. 把 $x^{\sin x}$（$x > 0$）写成以 $e$ 为底的形式
3. 化简 $e^{3\ln x}$
4. 把 $\log_5 x$ 写成"常数 $\times \ln x$"的形式
5. 展开 $\ln\dfrac{x^4\sqrt{2x+1}}{(x-3)^2}$（假设各因子为正）
6. 化简 $\ln\dfrac{e^x}{1 + e^x}$

✅ 第 D 组参考答案

1. $7^x = e^{x\ln 7}$
2. $x^{\sin x} = e^{\sin x \,\cdot\, \ln x}$（底和指数都有 $x$ 的怪物，只有这条路——对数求导法的开场白）
3. $e^{3\ln x} = e^{\ln x^3} = x^3$
4. $\log_5 x = \dfrac{1}{\ln 5} \cdot \ln x$（求导时 $\frac{1}{\ln 5}$ 作为常数直接拎出去）
5. $4\ln x + \tfrac{1}{2}\ln(2x+1) - 2\ln(x-3)$
6. $\ln e^x - \ln\left(1 + e^x\right) = x - \ln\left(1 + e^x\right)$（注意 $\ln(1 + e^x)$ 是"和的对数"，不能再动）

📝 随堂测验

随堂测验0 / 6 题正确

1. 下列哪个等式是正确的？（$M, N > 0$）

A$\log_a(M + N) = \log_a M + \log_a N$B$\log_a(MN) = \log_a M \cdot \log_a N$C$\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$D$\log_a\dfrac{M}{N} = \dfrac{\log_a M}{\log_a N}$

2. $e^{2\ln 3}$ 等于？

A$9$B$6$C$e^6$D$2\ln 3$

3. 求导 $\log_2 x$ 之前，最省事的预处理是？

A改写成 $2^x$ 的反函数再用反函数求导B查一张 $\log_2$ 专用求导表C不需要处理，直接背 $\log_2$ 的求导公式D换底成 $\dfrac{\ln x}{\ln 2}$，把 $\dfrac{1}{\ln 2}$ 当常数拎出去

4. 解方程 $\log_2 x + \log_2(x-2) = 3$ 得 $x = 4$ 和 $x = -2$，下一步应该？

A两个都是解，直接写答案B代回原方程检查真数是否为正，舍去 $x = -2$C取平均值 $x = 1$D两个都舍去，方程无解

5. $(\ln x)^2$ 与 $\ln(x^2)$ 的关系是？（$x > 0$）

A完全相等B前者是后者的 2 倍C$\ln(x^2) = 2\ln x$，而 $(\ln x)^2$ 是对数值的平方，二者一般不相等D后者无意义

6. 处理 $x^x$（$x > 0$）这类“底和指数都含 $x$”的式子，标准第一步是？

A改写成 $e^{x\ln x}$B用幂提前法则写成 $x \cdot \log x$C分别对底和指数求导再相乘D此类式子无法处理

本课小结

• 根基一句话：$\log_a x = y \Leftrightarrow a^y = x$；互逆关系 $e^{\ln x} = x$、$\ln(e^x) = x$ 是变形主力
• 三大法则：积化和、商化差、幂提前——对数把乘除幂各降一级
• 换底公式在微积分里只干一件事：杂牌底 $\to \ln$，多出来的 $\frac{1}{\ln a}$ 是常数
• 翻车点前三名：$\ln(M+N)$ 不能拆、$(\ln x)^2 \neq \ln(x^2)$、解对数方程必须验根
• 预备变形 $a^x = e^{x\ln a}$ 和"先拆再算"，是 S4 积分与 S5 对数求导法的赛前热身

下一步回顾课会陆续补齐其他手生的旧兵器；也可以直接进入 S4 · Integral Calculus，卡住了再回来翻这张法则表。