受迫振动与共振 —— 推秋千的数学，塌桥的物理

本课导读

前两课的弹簧都在"自弹自唱"（齐次）。现在有人上手了：给系统施加一个周期性外力——推秋千的手、路面的起伏、风的脉动。方程变成非齐次，第 4 课的待定系数法重返战场。主角是全单元最有戏剧性的现象：共振（resonance）——当外力节拍恰好踩中系统的固有频率，振幅会持续放大。你在第 4 课埋下的"乘 $x$ 修正"，本课兑现它的物理身份。预计 50 分钟。

🔧 30 秒回顾 · 本课要用的旧手艺（熟练可跳过）

① 三角右端的待定系数（第 4 课）：右端 $F\cos\omega t$ ⟹ 猜 $A\cos\omega t + B\sin\omega t$（成对上）；若猜想撞上齐次解 ⟹ 乘 $t$。微例：$x'' + 4x = 3\cos t$，齐次解频率是 2、外力频率是 1，不撞，直接猜——例题 1 原式。⚠️ 翻车点：忘查撞车，或撞了不乘 $t$。

② 固有频率（第 5 课）：$\omega_0 = \sqrt{k/m}$，系统体质决定，与外界无关。微例：$x'' + 16x = 0$ 的 $\omega_0 = 4$——例题 2 的引信。⚠️ 翻车点：把方程里的 $\omega_0^2$（系数）直接当成 $\omega_0$ 忘了开根号。

③ 振幅合并（第 5 课）：$A\cos\omega t + B\sin\omega t$ 的振幅为 $\sqrt{A^2 + B^2}$。微例：$2\cos t + 4\sin t$ 振幅 $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$——例题 3 原式。⚠️ 翻车点：把两系数直接相加当振幅。

建模：给弹簧接上外力

在 $mx'' + cx' + kx = 0$ 的受力清单里加一项周期外力 $F(t) = F_0\cos\omega t$：

$$m\,x'' + c\,x' + k\,x = F_0\cos\omega t$$

受迫振动（forced vibration）方程——非齐次，常系数，右端是余弦：第 4 课点菜表的标准客户。开工前认清两个频率，全课的戏剧冲突都在它俩之间：

• $\omega_0 = \sqrt{k/m}$：固有频率，系统自己想怎么晃（体质）
• $\omega$：驱动频率，外力强迫它怎么晃（指令）

按第 4 课结构定理，解 = 齐次通解（系统的"自由发挥"）+ 特解（外力的"强制节目"）。

无阻尼受迫：ω ≠ ω₀，相安无事

先关掉阻尼（$c = 0$）看清主线：$x'' + \omega_0^2 x = \dfrac{F_0}{m}\cos\omega t$。

驱动频率不撞固有频率（$\omega \neq \omega_0$）时，$\cos\omega t$ 不是齐次解（齐次解的频率是 $\omega_0$），普通猜想畅通无阻：猜 $x_p = A\cos\omega t$（🔧 工具箱 ①；本方程无 $x'$ 项，sin 分量会自动为零，动笔时带上 $B$ 也无妨）。代入：

$$-\omega^2 A\cos\omega t + \omega_0^2 A\cos\omega t = \frac{F_0}{m}\cos\omega t \quad\Rightarrow\quad x_p = \frac{F_0}{m\left(\omega_0^2 - \omega^2\right)}\cos\omega t$$

系统被迫按外力的频率 $\omega$ 摆动，振幅是常数——相安无事。但盯住分母 $\omega_0^2 - \omega^2$：驱动频率越接近固有频率，分母越小，被迫振幅越大。$\omega \to \omega_0$ 时振幅冲向无穷——预警拉响。

例题 1 · 不撞频的受迫振动

求 $x'' + 4x = 3\cos t$ 的通解。

解法展开

$\omega_0 = 2$，$\omega = 1$，不撞。齐次骨架 $x_h = c_1\cos 2t + c_2\sin 2t$。特解按公式（或现场猜 $A\cos t$）：$A(-1 + 4) = 3 \Rightarrow A = 1$：

$$x = \underbrace{c_1\cos 2t + c_2\sin 2t}_{\text{自由振动 } \omega_0 = 2} + \underbrace{\cos t}_{\text{被迫节目 } \omega = 1}$$

两种频率的叠加：系统一边按自己的节拍晃、一边按外力的节拍晃，轨迹是两支"音叉"的合唱。

纯共振：ω = ω₀，乘 t 的时刻到了

外力节拍精确踩中固有频率：$x'' + \omega_0^2 x = \dfrac{F_0}{m}\cos\omega_0 t$。

现在右端 $\cos\omega_0 t$ 正是齐次解——第 4 课的失灵判据触发，猜想必须乘 $t$：$x_p = t(A\cos\omega_0 t + B\sin\omega_0 t)$。代入化简（细节收在折叠里），结果：

$$x_p = \frac{F_0}{2m\omega_0}\; t\,\sin\omega_0 t$$

🔍 选看 · 验证这个特解

设 $x_p = \dfrac{F_0}{2m\omega_0}\,t\sin\omega_0 t$。乘积法则两连发：

$$x_p' = \frac{F_0}{2m\omega_0}\left(\sin\omega_0 t + \omega_0 t\cos\omega_0 t\right), \qquad x_p'' = \frac{F_0}{2m\omega_0}\left(2\omega_0\cos\omega_0 t - \omega_0^2\, t\sin\omega_0 t\right)$$

代入左端：$x_p'' + \omega_0^2 x_p = \dfrac{F_0}{2m\omega_0} \cdot 2\omega_0\cos\omega_0 t = \dfrac{F_0}{m}\cos\omega_0 t$ ✅（$t\sin$ 项恰好对消）。

读它的体格：$\sin\omega_0 t$ 是振荡，前面的 $t$ 是随时间线性放大的振幅——包络线是两条张开的直线 $\pm\dfrac{F_0}{2m\omega_0}t$。每一次推力都恰好赶在系统"顺势"的瞬间，能量只进不出，越晃越大，直到线性模型失效（弹簧拉断、桥面开裂——模型失效之处正是事故发生之时）。这就是纯共振（pure resonance）。

推秋千是你早就会的共振工程：想把孩子荡高，你自然会跟着秋千的节拍出手——按固有频率驱动；乱推一气（$\omega \neq \omega_0$）只会互相抵消。

例题 2 · 踩中引信

求 $x'' + 16x = 8\cos 4t$ 的通解，并描述解的长期行为。

解法展开

$\omega_0 = 4$（🔧 工具箱 ②），驱动频率也是 4——正面撞上，纯共振。公式（$m = 1, F_0 = 8$）：

$$x_p = \frac{8}{2 \cdot 4}\,t\sin 4t = t\sin 4t$$

通解：

$$x = c_1\cos 4t + c_2\sin 4t + t\,\sin 4t$$

长期行为：无论初始条件如何，$t\sin 4t$ 一项迟早压倒一切——振幅按 $t$ 线性放大，系统走向解体。第 4 课练习 3 里那个 $\tfrac{1}{6}x\sin 3x$，现在你知道它当时就在演这出戏。

有阻尼受迫：稳态与实用共振

现实系统总有阻尼，剧情温和一些但更实用。$mx'' + cx' + kx = F_0\cos\omega t$（$c > 0$）的解两部分：

$$x = \underbrace{x_h}_{\text{暂态：} t \to \infty \text{ 时} \to 0} + \underbrace{x_p = R(\omega)\cos(\omega t - \varphi)}_{\text{稳态：外力节拍的持续演出}}$$

关键观察：只要 $c > 0$，齐次解全带衰减外壳（上两课：欠/临界/过阻尼通通归零），所以 $x_h$ 叫暂态（transient）——开机时的过渡晃动，迟早烧完；剩下的特解叫稳态（steady state）——系统最终锁定在驱动频率上摆动。初始条件只影响暂态，长期行为全由稳态说了算。

稳态振幅可以用待定系数法逐题算（例题 3 演示），也有一步到位的通用公式：

$$R(\omega) = \frac{F_0}{\sqrt{m^2\left(\omega_0^2 - \omega^2\right)^2 + c^2\omega^2}}$$

读分母：$\omega = \omega_0$ 时第一项归零，但第二项 $c^2\omega^2$ 还在——阻尼兜底，振幅冲不到无穷。这就是实用共振（practical resonance）：$R(\omega)$ 在 $\omega_0$ 附近爬上一个有限的峰；阻尼越小峰越尖越高，阻尼够大时峰甚至被抹平。工程含义一句话：共振毁不毁机器，看阻尼给不给兜底——这正是上一课那些阻尼器存在的终极理由。

例题 3 · 稳态振幅

求 $x'' + 2x' + 2x = 10\cos t$ 的稳态解及其振幅。

解法展开

稳态 = 特解。猜 $x_p = A\cos t + B\sin t$（有 $x'$ 项，这回 sin 真的躲不掉），代入：

$$(-A + 2B + 2A)\cos t + (-B - 2A + 2B)\sin t = (A + 2B)\cos t + (B - 2A)\sin t \equiv 10\cos t$$

得 $A + 2B = 10$，$B = 2A$ ⟹ $A = 2, B = 4$：

$$x_p = 2\cos t + 4\sin t, \qquad R = \sqrt{4 + 16} = 2\sqrt{5} \approx 4.47$$

（🔧 工具箱 ③。用通用公式验算：$m = 1, \omega_0^2 = 2, \omega = 1, c = 2$：$R = \dfrac{10}{\sqrt{(2-1)^2 + 4}} = \dfrac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$ ✅。）齐次部分 $r = -1 \pm i$ 是暂态，几秒内烧完；此后系统就以振幅 $2\sqrt{5}$、频率 1 稳定摆动。

共振的江湖轶事

• 士兵过桥要便步走：齐步走的整齐步频若接近桥的固有频率，就是集体推秋千。1831 年英国 Broughton 吊桥在士兵齐步通过时垮塌，此后"过桥便步走"写进多国军规。
• 伦敦千禧桥（2000）：开放当天行人无意识同步脚步（桥晃 → 人调整步伐 → 晃得更凶的正反馈），侧向摆动到关闭整改——加装几十个阻尼器后重开，正是"加大 $c$ 压峰"的教科书操作。
• 碎酒杯：歌手（或音响）按玻璃杯的固有频率持续输出，振幅积累到超过材料极限——纯共振的桌面演示。
• 塔科马海峡大桥（1940）：桥面扭摆数小时后解体的影像人尽皆知。诚实备注：现代分析认为主因是气动弹性颤振（风与结构的自激振荡），不是教科书意义的强迫共振——但它仍是"周期性能量注入 + 阻尼不足"的惨烈标本，值得和共振放在同一个抽屉。
• 正面用途：微波炉（驱动水分子）、收音机调谐（电路共振选台）、核磁共振（名字里就写着）——踩中固有频率不只闯祸，也是精准输运能量的手段。

✍️ 练习

练习 1 · 不撞频

求 $x'' + 9x = 5\cos 2t$ 的一个特解。

✅ 参考答案

$\omega_0 = 3 \neq 2 = \omega$，不撞。猜 $A\cos 2t$：$A(-4 + 9) = 5 \Rightarrow A = 1$，$x_p = \cos 2t$。（公式验算：$\dfrac{5}{1 \cdot (9 - 4)} = 1$ ✅。）

练习 2 · 找引信

系统 $x'' + 25x = F_0\cos\omega t$。哪个驱动频率会引发纯共振？届时特解长什么样（取 $F_0 = 10$）？

✅ 参考答案

$\omega_0 = 5$，共振当且仅当 $\omega = 5$。此时（$m = 1$）：

$$x_p = \frac{10}{2 \cdot 5}\,t\sin 5t = t\sin 5t$$

振幅包络 $\pm t$，线性张开——别忘了 $\omega_0$ 是方程系数 25 的平方根（工具箱 ② 的翻车点）。

练习 3 · 稳态振幅

求 $x'' + 3x' + 2x = 20\cos t$ 的稳态振幅。

✅ 参考答案

猜 $A\cos t + B\sin t$，代入归堆：$(A + 3B)\cos t + (B - 3A)\sin t \equiv 20\cos t$，得 $B = 3A$，$A + 9A = 20 \Rightarrow A = 2, B = 6$。稳态振幅：

$$R = \sqrt{4 + 36} = 2\sqrt{10} \approx 6.32$$

暂态部分（$r = -1, -2$，过阻尼）几秒内退场，不参与长期演出。

📝 随堂测验

随堂测验0 / 5 题正确

1. 受迫振动问题里的两个频率，正确的区分是？

A$\omega_0 = \sqrt{k/m}$ 由系统体质决定；$\omega$ 是外力的驱动频率，两者独立B$\omega_0$ 由外力决定，$\omega$ 由系统决定C两者永远相等D$\omega_0$ 只在有阻尼时才有定义

2. 纯共振（无阻尼、$\omega = \omega_0$）时特解的形状是？

A$A\cos\omega_0 t$，振幅为常数B$Ae^{-t}\cos\omega_0 t$，衰减振荡C$At\sin\omega_0 t$ 型——振幅随时间线性放大D无解

3. 有阻尼受迫振动中，“暂态”和“稳态”分别指？

A暂态是特解，稳态是齐次解B两者都会随时间消失C暂态由外力决定，稳态由初始条件决定D暂态是齐次解（带衰减外壳，迟早归零），稳态是特解（按驱动频率持续摆动）

4. 有阻尼时驱动频率扫过 $\omega_0$ 附近，稳态振幅 $R(\omega)$ 会？

A冲向无穷大，与无阻尼相同B爬上一个有限的峰——阻尼越小峰越尖，阻尼够大峰被抹平C恒为常数，与 $\omega$ 无关D单调递减

5. 千禧桥事故的整改方案是加装大量阻尼器，用本课语言解读就是？

A提高固有频率 $\omega_0$ 躲开步频B减小外力幅度 $F_0$C增大 $c$，压低共振峰的高度，让踩中节拍的能量注入被耗散兜住D把桥改成非线性系统

本课小结

• 受迫振动 $mx'' + cx' + kx = F_0\cos\omega t$：两个频率的戏——体质 $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ vs 指令 $\omega$
• 无阻尼不撞频：被迫按 $\omega$ 摆，振幅 $\dfrac{F_0}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}$——越接近 $\omega_0$ 越大（接近时出现"拍"）
• 纯共振（$\omega = \omega_0$）：乘 $t$ 修正登场，$x_p = \dfrac{F_0}{2m\omega_0}t\sin\omega_0 t$，振幅线性放大直至模型失效——推秋千与塌桥是同一条数学
• 有阻尼：解 = 暂态（齐次，烧完即止）+ 稳态（$R(\omega)\cos(\omega t - \varphi)$）；阻尼兜底使共振峰有限——实用共振，工程师用 $c$ 压峰
• 共振是双刃剑：毁桥碎杯，也驱动微波炉、收音机与核磁共振

下一课是单元关卡：从特征方程到弹簧四命运再到共振，一张总表、三道综合大题、十连测验——把 S6 的全部手艺过一遍安检。