切平面与线性近似 —— 曲面的"局部拉平"生意

本课导读

第 1 课埋的伏笔今天兑现："两个斜率 + 一个点定一张平面。"上一课量出了曲面在一点的两个方向斜率（$f_x, f_y$），现在把它们装回平面公式——得到贴着曲面的切平面。它不只是几何摆设：把曲面局部拉平后，复杂函数在一点附近就能用"一次乘加"估值，这就是线性近似与改变量估计——工程和物理里每天都在用的手艺。途中还要诚实面对一个理论坑：可微性——二维世界里"有偏导数"不等于"能拉平"。预计 45 分钟。

🔧 30 秒回顾 · 本课要用的旧手艺（熟练可跳过）

① 一维切线近似：$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$（$x$ 近 $a$）。微例：$\sqrt{4.1} \approx 2 + \tfrac{1}{4}(0.1) = 2.025$。⚠️ 翻车点：忘了"近似只在 $a$ 附近可信"。

② 平面斜率读法（第 1 课）：$z = ax + by + c$ 中 $a, b$ 分别是 $x, y$ 方向斜率。微例：练习 3 的"两斜率 + 一点"反向工程——本课公式就是它的正式版。⚠️ 翻车点：斜率与截距张冠李戴。

③ 偏导数代值（第 4 课）：先求偏导函数，再代点。微例：$f = x^2y$，$f_x = 2xy$，$f_x(2,1) = 4$——例题 1 原式。⚠️ 翻车点：先代点再求导（代完变常数，导数恒零）。

切平面：两个斜率装回平面公式

曲面 $z = f(x, y)$ 在点 $(a, b)$ 上方的点是 $\left(a, b, f(a,b)\right)$。要一张在这一点贴合曲面的平面——"贴合"的自然要求：

1. 过这个点
2. 沿 $x$ 方向斜率与曲面一致：$= f_x(a, b)$
3. 沿 $y$ 方向斜率与曲面一致：$= f_y(a, b)$

第 1 课说过，这三条恰好完全确定一张平面（🔧 工具箱 ②）。写出来就是切平面（tangent plane）方程：

$$\boxed{\,z = f(a, b) + f_x(a, b)\,(x - a) + f_y(a, b)\,(y - b)\,}$$

结构读法：基准高度 $f(a,b)$，加上"沿 $x$ 偏离 $a$ 的距离 × $x$ 方向斜率"，再加上"沿 $y$ 偏离 $b$ 的距离 × $y$ 方向斜率"。它就是一维切线公式 $y = f(a) + f'(a)(x - a)$ 多长了一节——形状神似不是巧合，是同一个思想：用一点处的导数信息搭出最贴身的线性对象。

例题 1 · 求切平面

求曲面 $z = x^2 y$ 在点 $(2, 1)$ 处的切平面方程。

✅ 解法展开

三样零件（🔧 工具箱 ③）：

$$f(2,1) = 4; \qquad f_x = 2xy \Rightarrow f_x(2,1) = 4; \qquad f_y = x^2 \Rightarrow f_y(2,1) = 4$$

装配：

$$z = 4 + 4(x - 2) + 4(y - 1)$$

（展开即 $z = 4x + 4y - 8$，两种形式都算完成。）流程口诀：代高度、求两偏、装公式——三步，不需要任何新计算技术。

可微性：诚实的一段

一维世界"可导 = 有切线 = 局部拉平成功"，一气呵成。二维出岔子了：两个偏导数都存在，切平面却可能贴不住曲面。

反面教材是上一课极限专题的老朋友思路：函数 $f(x,y) = \dfrac{xy}{x^2+y^2}$（补定义 $f(0,0) = 0$）在原点沿两条轴都恒为零，所以 $f_x(0,0) = f_y(0,0) = 0$ 都存在；"切平面"应是水平面 $z = 0$。但沿对角线 $y = x$ 逼近时函数值贴着 $\tfrac{1}{2}$（第 3 课例题 2 算过）——曲面根本没贴着那张平面，"拉平"是假象。偏导数只检查了两条轴方向，斜方向可以完全失控。

于是需要一个更强的词：$f$ 在一点可微（differentiable），直观定义就是"切平面真的贴住了曲面"——偏离切平面的误差比位移本身高阶地小。日常判定用一条舒服的充分条件：

线性近似：切平面的实用变现

切平面既然贴合曲面，那么在 $(a, b)$ 附近，就可以拿平面高度冒充曲面高度：

$$f(x, y) \;\approx\; L(x, y) = f(a, b) + f_x(a, b)(x - a) + f_y(a, b)(y - b)$$

$L$ 叫 $f$ 在 $(a,b)$ 处的线性近似（linear approximation）。用途：在没有计算器的年代它是手算利器；在有计算器的年代它是思维利器——复杂模型在工作点附近"线性化"，是工程、经济、机器学习共用的第一招。

例题 2 · 用切平面估值

用例题 1 的结果估算 $f(2.1,\, 0.95)$（其中 $f = x^2 y$），并与精确值比较。

✅ 解法展开

代入 $L(x, y) = 4 + 4(x - 2) + 4(y - 1)$：

$$L(2.1, 0.95) = 4 + 4(0.1) + 4(-0.05) = 4 + 0.4 - 0.2 = 4.2$$

精确值：$f(2.1, 0.95) = 2.1^2 \times 0.95 = 4.41 \times 0.95 = 4.1895$。误差约 $0.01$，相对误差约 $0.25\%$——一次乘加换来千分之二的精度，这就是"局部拉平"生意的利润率。偏离越远利润越薄（🔧 工具箱 ① 的提醒原样适用）。

改变量估计：全微分

换个记法问同一件事：从 $(a, b)$ 出发，$x$ 挪 $\Delta x$、$y$ 挪 $\Delta y$，$z$ 大约变多少？由线性近似直接移项：

$$\Delta z \;\approx\; f_x(a, b)\,\Delta x + f_y(a, b)\,\Delta y$$

右端记作 $dz = f_x\,dx + f_y\,dy$，称全微分（total differential）。读法："总变化 ≈ 各方向变化的贡献之和"——每个方向的贡献 = 该方向斜率 × 该方向挪动量。误差分析、灵敏度分析的标准句式。

例题 3 · 圆柱体积的误差预算

圆柱体积 $V = \pi r^2 h$。测得 $r = 2$、$h = 5$；若 $r$ 实际偏大 $0.05$、$h$ 实际偏小 $0.1$，用全微分估算体积误差。

✅ 解法展开

两个偏导数：$V_r = 2\pi r h$，$V_h = \pi r^2$。代入 $r = 2, h = 5$：$V_r = 20\pi$，$V_h = 4\pi$。全微分：

$$\Delta V \approx V_r\,\Delta r + V_h\,\Delta h = 20\pi (0.05) + 4\pi(-0.1) = \pi(1 - 0.4) = 0.6\pi \approx 1.88$$

（精确变化 $\pi(2.05^2 \cdot 4.9 - 20) \approx 0.592\pi$，近似质量不错。）注意读法的价值：$V_r = 20\pi$ 远大于 $V_h = 4\pi$——体积对半径的误差敏感 5 倍，测量时该把精力花在量准 $r$ 上。全微分不只算数，还告诉你"哪个变量是误差大户"。

✍️ 练习

练习 1 · 切平面基本功

求 $z = x^3 y$ 在点 $(1, 2)$ 处的切平面方程。

✅ 参考答案

$f(1,2) = 2$；$f_x = 3x^2y \Rightarrow f_x(1,2) = 6$；$f_y = x^3 \Rightarrow f_y(1,2) = 1$：

$$z = 2 + 6(x - 1) + (y - 2)$$

练习 2 · 估值与验证

用练习 1 的切平面估算 $f(1.02,\, 1.97)$，并与精确值 $1.02^3 \times 1.97$ 对比。

✅ 参考答案

$$L = 2 + 6(0.02) + (-0.03) = 2 + 0.12 - 0.03 = 2.09$$

精确值 $1.02^3 \times 1.97 \approx 1.0612 \times 1.97 \approx 2.0906$。误差不到 $0.001$——点挪得越少，切平面冒充得越像。

练习 3 · 灵敏度体检

矩形盒子体积 $V = xyz$…先别慌，目前只学了二元：设底面积固定问题简化为 $S = xy$（$x = 20$，$y = 30$）。若两边测量各可能偏差 $\pm 0.1$，用全微分估算面积的最大误差，并指出哪条边是"误差大户"。

✅ 参考答案

$S_x = y = 30$，$S_y = x = 20$。最不利情况同号叠加：

$$|\Delta S| \lesssim 30 \times 0.1 + 20 \times 0.1 = 5$$

误差大户是 $x$（系数 30 更大）：短边的测量误差被长边放大——量地皮时短边更要量仔细，这个反直觉小结论就是全微分白送的。

📝 随堂测验

随堂测验0 / 5 题正确

1. 曲面 $z = f(x,y)$ 在 $(a,b)$ 处切平面方程是？

A$z = f_x(a,b)\,x + f_y(a,b)\,y$B$z = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)$C$z = f(a,b)$D$z = f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)$

2. 二维世界里“两个偏导数都存在”与“可微（切平面贴合）”的关系是？

A偏导数存在不保证可微：偏导只查了两条轴，斜方向可能失控；反例 $\frac{xy}{x^2+y^2}$B完全等价C可微比偏导数存在更弱D二者毫无关系

3. 线性近似 $L(x,y)$ 估值的可靠范围是？

A整个定义域B只在点 $(a,b)$ 本身C距离基准点越远越准D基准点 $(a,b)$ 的附近：偏离越小误差越小

4. 全微分 $dz = f_x\,dx + f_y\,dy$ 的读法是？

A$z$ 的精确变化量B两个偏导数的乘积C总变化 ≈ 各方向贡献之和，每份贡献 = 该方向斜率 × 该方向挪动量D曲面的面积微元

5. 例题 3 中 $V_r = 20\pi$ 而 $V_h = 4\pi$，工程含义是？

A半径比高度难测量B体积对半径的误差敏感度是对高度的 5 倍，应优先量准半径C高度的误差可以忽略不计D体积与高度无关

本课小结

• 切平面 $z = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)$：第 1 课"两斜率 + 一点"的正式版；流程——代高度、求两偏、装公式
• 可微性：偏导存在 ≠ 可微（轴方向合格、斜方向可能失控）；护身符——偏导存在且连续 ⟹ 可微，常规函数定义域内通行
• 线性近似 $f \approx L$：基准点附近用一次乘加冒充曲面；偏离越小越可信
• 全微分 $\Delta z \approx f_x \Delta x + f_y \Delta y$：各方向贡献相加；偏导数兼任灵敏度系数，指认误差大户
• 一维切线思想的完整升维：切线 → 切平面，$f'(a)(x-a)$ → 两节"斜率 × 偏移"

下一课给偏导数"再来一层"：二阶偏导数（曲面的弯曲档案，第 8 课判极值的原料）＋ 链式法则（变量再套变量时的求导流水线）。