一阶线性方程 —— 积分因子的魔法

本课导读

可分离变量法专治"乘法脸"，但很多方程偏偏长着"加法脸"：$y' + y = e^x$、$xy' + y = 3x^2$……拆不成乘积，分离不了。本课的主角积分因子是一阶线性方程的万能钥匙：往方程两边乘一个精心挑选的函数，左边就会奇迹般地折叠成一个"完美导数"，然后积分收工。课末还有一场认亲大会：第 1 课练习 2 里那个来历不明的解 $y = x^2 + C/x$，今天查明身世。预计 45 分钟。

🔧 30 秒回顾 · 本课要用的旧手艺（熟练可跳过）

① 乘积法则 $(uv)' = u'v + uv'$：本课的灵魂，而且是倒着用。微例：$(e^{2x}y)' = e^{2x}y' + 2e^{2x}y$——例题 1 的"折叠"就是把这一行从右往左读。⚠️ 翻车点：漏项，尤其是 $\mu'y$ 那一项。

② $e$ 与 $\ln$ 互相抵消：$e^{\ln x} = x$，推广 $e^{k\ln x} = x^k$。微例：$\mu = e^{2\ln x} = x^2$——练习 3 原式。⚠️ 翻车点：把 $e^{2\ln x}$ 误算成 $2x$。

③ 凑微分：被积式里"外面挂着内层的导数（差个常数倍）"就凑。微例：$\displaystyle\int xe^{x^2}dx = \frac{1}{2}\int e^{x^2}\,d(x^2) = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$——练习 2 原式。⚠️ 翻车点：漏系数 $\frac{1}{2}$。

一阶线性方程长什么样

一阶线性方程的标准形式：

$$y' + p(x)\,y = q(x)$$

"线性"指未知数 $y$ 和 $y'$ 都只以一次幂、不相乘地出现（没有 $y^2$、$yy'$、$\sin y$ 这些花样）。$p(x)$、$q(x)$ 可以随便复杂——它们不含 $y$，只是已知的系数和右端项。

认脸练习：$y' + 2y = 4$ ✓；$xy' + y = 3x^2$ ✓（两边除以 $x$ 就站好队形：$y' + \frac{1}{x}y = 3x$）；$y' = y^2 - y$ ✗（$y^2$ 出局——不过下一课它有别的路）。

核心思想：让左边折叠成完美导数

观察标准形式的左边 $y' + p(x)y$，再看乘积求导法则：

$$\big(\mu(x)\, y\big)' = \mu y' + \mu' y$$

两个式子长得像不像？如果给方程两边同乘一个函数 $\mu(x)$，左边变成 $\mu y' + \mu p\, y$——只要 $\mu$ 满足 $\mu' = \mu\, p(x)$，它就和 $(\mu y)'$ 一模一样。而 $\mu' = \mu p$ 是个可分离方程（上一课的手艺）：$\int \frac{d\mu}{\mu} = \int p\,dx$，解得

$$\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx}$$

这个 $\mu$ 就叫积分因子（integrating factor）。于是整个解法四步：

1. 整理成标准形式，认出 $p(x)$
2. 算积分因子 $\mu = e^{\int p\,dx}$（这一步不用带 $+C$，取一个就够）
3. 两边同乘 $\mu$，左边必定折叠为 $(\mu y)'$——如果折不出来，说明前面算错了，这是免费的自检点
4. 两边积分，解出 $y$（这时才出现 $C$）

例题 1 · 第一次拉拉链

解方程 $y' + 2y = 4$。

第 1-2 步 · 认出 p，算出 μ

已是标准形式，$p(x) = 2$，$q(x) = 4$。积分因子：

$$\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$$

第 3 步 · 两边同乘，见证折叠

$$e^{2x}y' + 2e^{2x}y = 4e^{2x}$$

左边正是 $(e^{2x}y)'$——自检：把 $(e^{2x}y)'$ 用乘积法则展开，$e^{2x}y' + 2e^{2x}y$，分毫不差。于是

$$\big(e^{2x}\,y\big)' = 4e^{2x}$$

第 4 步 · 积分收工

两边积分：$e^{2x}y = \displaystyle\int 4e^{2x}dx = 2e^{2x} + C$。除以 $e^{2x}$：

$$y = 2 + Ce^{-2x}$$

读答案：$t \to \infty$ 时所有解都奔向 $y = 2$——又一个"平衡值"（$y \equiv 2$ 代回方程：$0 + 4 = 4$ ✓）。指数项 $Ce^{-2x}$ 是初值留下的"记忆"，随时间被遗忘。

例题 2 · 认亲大会：y = x² + C/x 的身世

求 $xy' + y = 3x^2$（$x > 0$）的通解。——第 1 课练习 2 让你"验证"过它的解，现在正面推导。

第 1-2 步 · 标准化，算 μ

两边除以 $x$：$y' + \dfrac{1}{x}y = 3x$，故 $p(x) = \dfrac{1}{x}$。

$$\mu = e^{\int \frac{1}{x}dx} = e^{\ln x} = x$$

积分因子就是 $x$ 本身（🔧 工具箱 ②：$e^{\ln x} = x$）！

第 3-4 步 · 折叠、积分

两边乘 $x$——方程变回 $xy' + y = 3x^2$（原来出题人早就乘好了！），左边折叠：

$$(x\,y)' = 3x^2 \quad\Rightarrow\quad xy = x^3 + C \quad\Rightarrow\quad y = x^2 + \frac{C}{x}$$

身世大白：第 1 课那个"来历不明"的解，是积分因子两步推出来的。你现在拥有的不只是验证能力,而是生产能力。

顺手再看一位老朋友：咖啡方程 $T' = -k(T - 20)$ 移项后是 $T' + kT = 20k$——它也是线性方程！用 $\mu = e^{kt}$ 走一遍流程，得到的和上一课分离变量的结果一字不差：$T = 20 + Ce^{-kt}$。一题两解不是浪费，是互相验算：两条路通到同一个终点，答案几乎不可能是错的。

✍️ 练习

练习 1 · 完整流程 + 初值

解初值问题 $y' + 3y = 6$，$y(0) = 1$。

✅ 参考答案

$\mu = e^{3x}$；$(e^{3x}y)' = 6e^{3x}$；$e^{3x}y = 2e^{3x} + C$；通解 $y = 2 + Ce^{-3x}$。代入 $(0,1)$：$1 = 2 + C$，$C = -1$：

$$y = 2 - e^{-3x}$$

验证：$y' = 3e^{-3x}$，$y' + 3y = 3e^{-3x} + 6 - 3e^{-3x} = 6$ ✓，$y(0) = 2 - 1 = 1$ ✓。解从 1 出发单调爬向平衡值 2。

练习 2 · 变系数热身

求 $y' + 2xy = x$ 的通解。（提示：$\int 2x\,dx = x^2$；右边积分请凑微分。）

✅ 参考答案

$\mu = e^{x^2}$；$(e^{x^2}y)' = xe^{x^2}$；右边凑微分：$\displaystyle\int xe^{x^2}dx = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$。故 $e^{x^2}y = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$：

$$y = \frac{1}{2} + Ce^{-x^2}$$

验证：$y' = -2xCe^{-x^2}$，$y' + 2xy = -2xCe^{-x^2} + x + 2xCe^{-x^2} = x$ ✓。

练习 3 · 像例题 2 那样先站队

求 $xy' + 2y = x^2$（$x > 0$）的通解。

✅ 参考答案

标准化：$y' + \dfrac{2}{x}y = x$，$p = \dfrac{2}{x}$，$\mu = e^{2\ln x} = x^2$。两边乘 $x^2$：

$$(x^2 y)' = x^3 \quad\Rightarrow\quad x^2 y = \frac{x^4}{4} + C \quad\Rightarrow\quad y = \frac{x^2}{4} + \frac{C}{x^2}$$

验证：$y' = \dfrac{x}{2} - \dfrac{2C}{x^3}$；$xy' + 2y = \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{2C}{x^2} + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{2C}{x^2} = x^2$ ✓（$C$ 项漂亮相消——好兆头）。

📝 随堂测验

随堂测验0 / 5 题正确

1. 下列哪个是一阶线性方程？

A$y' + x^2 y = \sin x$B$y' + y^2 = x$C$y\,y' = x$D$y'' + y = 0$

2. 积分因子 $\mu = e^{\int p\,dx}$ 的设计目标是？

A让方程两边同时变成 0B消去右端项 $q(x)$C把方程变成可分离方程D让左边 $\mu y' + \mu p y$ 恰好等于 $(\mu y)'$，从而一次积分收工

3. 解 $xy' + y = 3x^2$ 时第一步应该做什么？

A直接令 $\mu = e^{\int x\,dx}$B两边对 $x$ 求导C两边除以 $x$ 化成标准形式 $y' + \frac{1}{x}y = 3x$，再认出 $p = \frac{1}{x}$D令 $y = vx$ 换元

4. 乘完积分因子后发现左边折叠不成 $(\mu y)'$，最可能说明？

A方程无解B前面某步算错了——“必定折叠”是这个方法自带的免费自检点C需要换成分离变量法D$C$ 取错了值

5. 咖啡方程既能用分离变量又能用积分因子解，这件事的价值是？

A说明其中一种方法是多余的B说明咖啡方程出题不严谨C两条独立路径通向同一答案 $T = 20 + Ce^{-kt}$，互为验算——正确性几乎无懈可击D只有线性方程才可分离

本课小结

• 一阶线性标准形式 $y' + p(x)y = q(x)$：$y$、$y'$ 一次幂不相乘；认 $p$ 前必须先站队（$y'$ 系数化为 1）
• 积分因子 $\mu = e^{\int p\,dx}$：乘上去左边必定折叠为 $(\mu y)'$——折不动 = 报错信号
• 四步流程：标准化 → 算 $\mu$（不带 $C$）→ 折叠 → 积分（此时才有 $C$）
• 第 1 课悬案告破：$y = x^2 + C/x$ 由 $\mu = x$ 两步推出;从"会验证"升级为"会生产"
• 既线性又可分离的方程（如咖啡方程）:两种解法互为验算

延伸阅读（可选，跳过不影响主线）

• Paul's Online Notes · Linear Equations——从头推导积分因子的来历，然后连做五道由易到难的例题，第四、五题的系数比本课更凶悍，适合练手感（英文，跳过不影响主线）

可分离管"乘法脸"，线性管"标准队形"——那 $y' = y - y^2$ 这种谁都不服的怎么办？下一课学换元法：给陌生方程做一场"整容手术"，让它变成这两张熟脸之一。顺便剧透：$y - y^2$ 正是人口增长的 Logistic 方程的雏形，第 7 课的主角。