课程库 › Calculus 2 › S7 · 二元函数 › 第 8 课

驻点与二阶判别法 —— 山顶、谷底和冒牌货

普通课约 50 分钟

本课导读

寻找最大最小值是微积分的看家本领。一维的老流程你很熟：令 $f' = 0$ 找候选点，再用 $f''$ 验明正身。本课把它升维：令梯度为零找驻点（stationary points），再用二阶偏导数组装的判别式 $D$ 分类。二维多出一个一维没有的新角色——鞍点：沿一个方向是谷、另一个方向是脊的"冒牌极值"，两个偏导都为零却既非顶也非底。优化是本课的变现场景：利润最大化、误差最小化、机器学习的损失函数,都在这套流程上运转。预计 50 分钟。

说明

前置工具箱：一维极值流程（ $f' = 0$ 找候选， $f'' > 0$ 谷 / $f'' < 0$ 顶）；第 6 课四个二阶偏导数；解二元方程组（代入消元）；第 2 课鞍形等高线指纹。

🔧 30 秒回顾 · 本课要用的旧手艺（熟练可跳过）

① 一维判别： $f'(a) = 0$ 且 $f''(a) > 0$ ⟹ 极小； $f''(a) < 0$ ⟹ 极大； $f''(a) = 0$ ⟹ 判别失语。微例： $f = x^2$ 在 0 处 $f'' = 2 > 0$ 谷底。⚠️ 翻车点：把 $f'' > 0$ 记成极大（凹凸口诀背反）。

② 解方程组（代入消元）：从一式解出一个变量代入另一式。微例： $y = x^2$ 且 $x = y^2$ ⟹ $x = x^4$ ⟹ $x = 0$ 或 $1$ ——例题 2 原式。⚠️ 翻车点： $x = x^4$ 两边约 $x$ 丢掉 $x = 0$ 这个根。

③ 二阶偏导速查（第 6 课）： $f_{xx}, f_{yy}$ 管弯曲， $f_{xy}$ 管扭曲；Clairaut 保证 $f_{xy} = f_{yx}$ 。微例： $f = x^3 + y^3 - 3xy$ 的 $f_{xy} = -3$ 。⚠️ 翻车点：判别式里忘了 $f_{xy}$ 要平方。

驻点：罗盘失灵处

光滑曲面的山顶或谷底处，任何方向的坡度都是零——否则沿上坡方向还能更高/沿下坡还能更低。"任何方向坡度为零"用上一课的语言说就是 $D_{\vec{u}}f = \nabla f \cdot \vec{u} = 0$ 对一切 $\vec{u}$ 成立，即：

\nabla f = \vec{0} \qquad\Longleftrightarrow\qquad f_x = 0 \;\text{且}\; f_y = 0

满足此条件的点叫驻点（stationary point，也叫临界点 critical point）。这是一维" $f' = 0$ "的直接升维——只是"一个方程"变成了"方程组"。

但驻点只是候选名单。一维的候选里混着拐点式的冒牌货；二维的冒牌货更有型——鞍点（saddle point）：像马鞍面 $z = x^2 - y^2$ 的原点，沿 $x$ 方向看是谷底、沿 $y$ 方向看是山脊，两个偏导都为零，但它既不是局部最高也不是局部最低（任何邻域内既有更高的点也有更低的点）。第 2 课的等高线指纹这里回收：鞍点附近等高线呈双曲线族 + 打叉的过点线。

二阶判别法：验明正身

一维靠 $f''$ 的符号定性（🔧 工具箱 ①）；二维有三个二阶量 $f_{xx}, f_{yy}, f_{xy}$ ，把它们组装成判别式（discriminant）：

D = f_{xx}\,f_{yy} - \left(f_{xy}\right)^2

二阶判别法：设 $(a, b)$ 是驻点，在该点计算 $D$ ：

判别结果	结论	画面
$D > 0$ 且 $f_{xx} > 0$	局部极小	两方向同凹成碗（谷底）
$D > 0$ 且 $f_{xx} < 0$	局部极大	两方向同凸成罩（山顶）
$D < 0$	鞍点	方向间凸性打架
$D = 0$	判别失语	需另行分析（同一维 $f'' = 0$ ）

直觉读法： $D > 0$ 要求 $f_{xx} f_{yy} > (f_{xy})^2 \geq 0$ ——两个方向弯曲同号（同谷或同脊）且强度足以压住扭曲项 $f_{xy}$ ，曲面才是"纯粹的碗/罩"；此时 $f_{xx}$ 的符号出面定是碗还是罩（ $f_{yy}$ 同号，问谁都一样）。 $D < 0$ 则或者两方向弯曲反号（标准马鞍），或者扭曲压倒弯曲（斜放的马鞍，如 $z = xy$ ： $f_{xx} = f_{yy} = 0$ 但 $f_{xy} = 1$ ， $D = -1$ ）。

注意

两个高频事故：① $(f_{xy})^2$ 的平方忘写——判别式白算；② $D > 0$ 后直接下结论——还差半步，必须再看 $f_{xx}$ 的符号才能分清碗与罩。流程固定为两问：先问 $D$ ，再问 $f_{xx}$ 。

例题 1 · 热身：一眼三类

分别求 $f = x^2 + y^2$ 、 $g = -x^2 - y^2$ 、 $h = x^2 - y^2$ 在原点的类型。

✅ 解法展开

三者的梯度在原点都是零（各自 $\nabla = (\pm 2x, \pm 2y)$ 型），都是驻点。判别：

$f$ ： $f_{xx} = 2, f_{yy} = 2, f_{xy} = 0$ ， $D = 4 > 0$ 且 $f_{xx} > 0$ ⟹ 极小（碗底）
$g$ ： $D = (-2)(-2) - 0 = 4 > 0$ 且 $g_{xx} = -2 < 0$ ⟹ 极大（罩顶）
$h$ ： $D = (2)(-2) - 0 = -4 < 0$ ⟹ 鞍点（马鞍原点）

教科书三件套与判别法完全对表——判别式就是把"看图识形"编译成了可计算的代数。

例题 2 · 正式流程全走一遍

求 $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$ 的所有驻点并分类。

第 1 步 · 解方程组找驻点

f_x = 3x^2 - 3y = 0 \;\Rightarrow\; y = x^2, \qquad f_y = 3y^2 - 3x = 0 \;\Rightarrow\; x = y^2

代入消元（🔧 工具箱 ②）： $x = (x^2)^2 = x^4$ ，即 $x(x^3 - 1) = 0$ ， $x = 0$ 或 $x = 1$ （⚠️ 别约掉 $x = 0$ ）。对应 $y = x^2$ ：驻点 $(0, 0)$ 与 $(1, 1)$ 。

第 2 步 · 判别分类

二阶零件（🔧 工具箱 ③）： $f_{xx} = 6x$ ， $f_{yy} = 6y$ ， $f_{xy} = -3$ 。

在 $(0,0)$ ： $D = 0 \cdot 0 - (-3)^2 = -9 < 0$ ⟹ 鞍点。（注意：这里 $f_{xx} = f_{yy} = 0$ ，两个方向切片都平平无奇，全靠扭曲项 $-3$ 定罪——漏掉平方就会误判。）

在 $(1,1)$ ： $D = 6 \cdot 6 - 9 = 27 > 0$ ，再看 $f_{xx} = 6 > 0$ ⟹ 局部极小，极小值 $f(1,1) = 1 + 1 - 3 = -1$ 。

流程定型：解方程组 → 逐驻点算 $D$ → 两问定性。

例题 3 · 应用：利润登顶

某厂商生产两种产品，利润为 $P(x, y) = 60x + 50y - x^2 - y^2 - xy$ （ $x, y$ 为两种产量）。求利润最大的产量组合。

✅ 解法展开

驻点： $P_x = 60 - 2x - y = 0$ ， $P_y = 50 - 2y - x = 0$ 。由第一式 $y = 60 - 2x$ 代入第二式： $50 - 2(60 - 2x) - x = 3x - 70 = 0$ ……得 $x = \tfrac{70}{3}$ ？回代验算： $y = 60 - \tfrac{140}{3} = \tfrac{40}{3}$ 。整数强迫症先放下，验证类型：

$P_{xx} = -2$ ， $P_{yy} = -2$ ， $P_{xy} = -1$ ： $D = 4 - 1 = 3 > 0$ 且 $P_{xx} = -2 < 0$ ⟹ 极大 ✅。最优产量 $\left(\tfrac{70}{3}, \tfrac{40}{3}\right) \approx (23.3,\ 13.3)$ ，最大利润 $P \approx 1033.3$ 。

注意 $-xy$ 项的戏份：两种产品互相蚕食市场（交叉项为负），所以最优解不是各自独立求出的 $(30, 25)$ ——耦合项正是二元优化比两次一元优化多出来的内容。

✍️ 练习

练习 1 · 全流程独立作业

求 $f(x, y) = x^3 - 3x + y^2$ 的所有驻点并分类。

✅ 参考答案

$f_x = 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$ ； $f_y = 2y = 0 \Rightarrow y = 0$ 。驻点 $(1, 0)$ 与 $(-1, 0)$ 。

$f_{xx} = 6x$ ， $f_{yy} = 2$ ， $f_{xy} = 0$ 。

$(1, 0)$ ： $D = 12 > 0$ ， $f_{xx} = 6 > 0$ ⟹ 极小， $f(1,0) = -2$
$(-1, 0)$ ： $D = -12 < 0$ ⟹ 鞍点

一维时 $x^3 - 3x$ 在 $x = -1$ 处是极大；加上 $y^2$ 这个"沿 $y$ 的谷"后， $x$ 方向的脊 + $y$ 方向的谷 = 鞍——升维改变命运的直观样本。

练习 2 · 判别失语现场

验证 $f(x, y) = x^4 + y^4$ 在原点 $D = 0$ （判别法失语），再用直接论证说明原点其实是极小点。

✅ 参考答案

$f_x = 4x^3, f_y = 4y^3$ ——原点是驻点。 $f_{xx} = 12x^2, f_{yy} = 12y^2, f_{xy} = 0$ ，在原点全为零： $D = 0$ ，判别法闭嘴。

直接论证：对一切 $(x, y) \neq (0,0)$ 有 $f = x^4 + y^4 > 0 = f(0,0)$ ——原点是（全局）极小。教训： $D = 0$ 不是"没有极值"，是"此路不通，换初等武器"（比较函数值、看结构正负）。一维 $f = x^4$ 在 0 处 $f'' = 0$ 的老故事，二维同款。

练习 3 · 快问快答

某驻点处 $f_{xx} = 4$ ， $f_{yy} = 1$ ， $f_{xy} = 3$ 。这是什么点？若 $f_{xy}$ 改成 $1$ 呢？

✅ 参考答案

$D = 4 \cdot 1 - 9 = -5 < 0$ ⟹ 鞍点——尽管两个方向的弯曲都是正的（都像谷）！扭曲项 $f_{xy} = 3$ 太强，把"斜 45° 方向"拧成了下坡。这就是 $D$ 里那一项平方存在的意义：两方向同凹还不够，还得压得住扭曲。

改成 $f_{xy} = 1$ ： $D = 4 - 1 = 3 > 0$ 且 $f_{xx} > 0$ ⟹ 极小。同样的弯曲，不同的扭曲，不同的命运。

📝 随堂测验

随堂测验0 / 5 题正确

1. 点 $(a,b)$ 是 $f$ 的驻点的定义是？

2. 判别式 $D$ 的正确表达式是？

3. 驻点处算得 $D > 0$，下一步应该？

4. 鞍点的本质特征是？

5. $D = 0$ 时正确的态度是？

本课小结

驻点： $\nabla f = \vec{0}$ （方程组 $f_x = 0, f_y = 0$ ）——极值的候选名单；一维 $f' = 0$ 的升维
判别式 $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$ ，两问流程： $D > 0$ 再问 $f_{xx}$ （正碗负罩）； $D < 0$ 鞍点； $D = 0$ 失语换武器
鞍点：二维新物种——方向间凸性打架或扭曲压倒弯曲；等高线指纹为双曲线族 + 打叉
高频事故： $(f_{xy})^2$ 忘平方； $D > 0$ 后忘第二问；解方程组约掉 $x = 0$ 型根
应用句式：建利润/误差模型 → 驻点 → 判别 → 极值点即最优决策；交叉项（如 $-xy$ ）是二元优化的灵魂

下一课换阵地：从求导切换到积分。二重积分——曲面下方"体积"的算法，以及 Fubini 定理如何把它拆成两次你早已熟练的单变量积分。

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讨论

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