可分离变量方程 —— 各回各家，各积各的

① $\displaystyle\int \frac{dy}{y} = \ln|y| + C$：本课出场率最高的积分。微例：$\displaystyle\int \frac{dT}{T-20} = \ln|T-20| + C$——例题 2 第 1 步原式。⚠️ 翻车点：漏绝对值——负的那支解就悄悄丢了（取指数吸收 $\pm$ 时它会回来对账）。

② 取指数整理：$e^{a+b} = e^a e^b$、$e^{\ln a} = a$。微例：$\ln|y| = 2t + C_1$ 两边取指数 → $|y| = e^{C_1}e^{2t}$，把正常数 $e^{C_1}$ 连同 $\pm$ 一起改名成任意常数 $C$。⚠️ 翻车点：把 $e^{C_1}$ 当成变量——它只是个数。

③ $\displaystyle\int \frac{dy}{1+y^2} = \arctan y + C$（练习 3 用）。⚠️ 翻车点：与 $\displaystyle\int \frac{dy}{1-y^2}$（那个要拆部分分式）认错脸。

右边 $= 2 \cdot y$，是"只管 $t$ 的因子（常数 2）× 只管 $y$ 的因子"。两边同除 $y$、同乘 $dt$：

小心：这一步除了 $y$——先在心里记一笔账，最后要回来查 $y = 0$ 的情况。

两边取指数（🔧 工具箱 ②）：$|y| = e^{2t + C_1} = e^{C_1} e^{2t}$，即 $y = \pm e^{C_1} e^{2t}$。记 $C = \pm e^{C_1}$（一个可正可负的任意常数），得

还账：刚才除以 $y$ 时排除了 $y = 0$——但常函数 $y \equiv 0$ 代回原方程：左边 $0$，右边 $2 \cdot 0 = 0$，成立！它也是解。好在让 $C = 0$ 恰好能把它收编进通解，无需单列。这笔账不是每次都这么幸运，习惯必须养成：除以谁，最后查谁。

（除以了 $T - 20$，记账：查 $T \equiv 20$——代回原方程两边都是 0，是解。正是上一课埋的"平衡"种子：咖啡凉到室温就永远停在室温。）

取指数并吸收正负号：$T - 20 = Ce^{-kt}$，即

（$C = 0$ 收编平衡解 $T \equiv 20$，账平了。）

代入 $T(0) = 80$：$80 = 20 + C$，得 $C = 60$。特解：

读一遍这个答案，它把生活经验全说对了：$t = 0$ 时 80 度 ✓；$t \to \infty$ 时 $e^{-kt} \to 0$，温度无限逼近但永不低于 20 度 ✓；温差 $60e^{-kt}$ 指数衰减——开头凉得快、后面越来越慢 ✓。一个方程,三条常识,全部兑现。

分离积分：$\displaystyle\int \frac{dy}{y^2} = \int dx \Rightarrow -\frac{1}{y} = x + C$。代入 $(0, 1)$：$-1 = C$。整理：

验证：$y' = \dfrac{1}{(1-x)^2} = y^2$ ✓。注意戏剧性行为：$x \to 1^-$ 时 $y \to +\infty$——解在有限时间内爆炸，定义域只到 $x = 1$ 为止。微分方程的解自带"有效期"，这是它和代数方程又一处气质不同。（记账：$y \equiv 0$ 也是解，但初值 $y(0)=1$ 用不上它。）

$\displaystyle\int \frac{dy}{y} = \int x\,dx \Rightarrow \ln|y| = \frac{x^2}{2} + C_1$，取指数吸收符号：

（$C=0$ 收编 $y \equiv 0$。）钟形曲线的近亲——它会在概率统计里和你重逢。

$\displaystyle\int \frac{dy}{1 + y^2} = \int dx \Rightarrow \arctan y = x + C$。初值给出 $C = 0$，故

验证：$(\tan x)' = \sec^2 x = 1 + \tan^2 x = 1 + y^2$ ✓。又见"有效期"：解到 $x = \pi/2$ 就飞向无穷。（这次 $1 + y^2$ 永不为零，没有账要还。）