课程库 › Calculus 2 › S5 · 一阶常微分方程 › 第 9 课
单元测验：一阶常微分方程关卡
里程碑约 40 分钟
本课导读
「一阶常微分方程」单元关卡：15 题综合测验，覆盖全部八课，全对通关。考的不是公式背诵，而是本单元反复训练的判断力——看到方程，知道抄哪把兵器。卡住的题顺着解析回对应课补一眼再来。通关之后有两句话想对你说。预计 40 分钟（建议备草稿纸，部分题需要动笔算两行）。
赛前热身：单元知识地图
| 课 | 一句话回顾 |
|---|---|
| 1. 什么是微分方程 | 规律说"怎么变"；解是函数；验证只需求导代入；先通解、后初值定 |
| 2. 可分离变量 | 右边拆成 乘积；各回各家分别积分；除以谁最后查谁 |
| 3. 积分因子 | 线性队形 ； 让左边必定折叠成 |
| 4. 换元法 | 整容手术： 齐次型、 伯努利，换成熟脸再收尾 |
| 5. 平衡解与相线图 | 找停车位；试探点定号画箭头；解曲线不穿平衡线 |
| 6. 稳定性 | 负稳正不稳零沉默；碗底/山顶/台阶边；现实只留得住稳定态 |
| 7. 人口模型 | 马尔萨斯指数、Logistic 的 S 形；收割造暗礁； 一过必崩 |
| 8. 混合问题 | 记账：进 − 出（出按家底比例）；只进一种水，箱子终成那种水 |
关卡测验
1. 方程 $(y')^3 + y'' = x$ 的阶数是？
2. 解初值问题的标准两步节奏是？
3. 下列方程中可以分离变量的是？
4. 解 $y' = y^2$ 时两边除以 $y^2$，正确的收尾动作是？
5. 求解 $y' + \dfrac{2}{x}y = x$ 应使用的积分因子是？
6. 乘完积分因子后，左边折叠不成 $(\mu y)'$，应该？
7. 面对 $y' = \dfrac{x^2 + y^2}{xy}$，正确的兵器选择是？
8. 解伯努利方程 $y' + y = x\,y^3$ 应做的换元是？
9. $y' = y(2 - y)$，从 $y(0) = 1$ 出发的解的长期行为是？
10. 解曲线能不能穿过平衡解那条水平线？
11. 某平衡点处 $f'(y^*) = -5$，判定结果是？
12. $f(y) = (y-4)^2$ 在 $y^* = 4$ 处“碰零不穿零”，对应的性格是？
13. Logistic 方程 $P' = rP(1 - P/K)$ 两个平衡点的稳定性是？
14. 渔场模型 $P' = rP(1-P/K) - h$ 中，捕捞量越过 $h_c = rK/4$ 时？
15. 200 L 水箱含盐 $A$ kg，混合液以 4 L/min 流出，流出项应写成？
通关寄语
两句话：
第一句：这个单元你带走的不是九个公式，而是一条完整的工作流——判型选兵器（分离/线性/换元）、定性看命运（平衡点 + 稳定性）、建模翻译现实（人口、水箱及一切同构物）。下个单元「二阶常微分方程」会沿用同一套思路：方程升到二阶，兵器换成特征方程，但"先定性预习、再定量强攻、答案与直觉互相盖章"的习惯原样继承。
第二句：这是数学 Track 的第一个单元，讲义的节奏、例题分步展开的粒度、练习的难度梯度都在校准期——哪一课卡壳了、哪个类比帮到了你、哪里嫌啰嗦，请随手记下来告诉站长。你的反馈直接决定下一个单元长什么样。
单元一・完 🎉
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