定性分析（上）—— 平衡解与相线图

本课导读

先交代一个憋了四课的坏消息：绝大多数微分方程写不出解的公式。$y' = \sin(y^2) + x$ 这种长相普通的方程，全人类都积不出来。但好消息更大：很多时候我们根本不需要公式——问"鱼塘里的鱼最终会稳定在多少条"，答案是一个数，不是一个函数。本课学定性分析的两件核心工具：平衡解（系统会停在哪里）和相线图（不在平衡点时往哪边走）。第 1 课咖啡杯里那颗种子，今天正式发芽。预计 45 分钟。

🔧 30 秒回顾 · 本课要用的旧手艺（熟练可跳过）

① 导数符号 ⇔ 增减：$y' = f(y) > 0$ 的区间里解递增，$< 0$ 递减。微例：$f = (y-1)(y-3)$ 在 $y = 2$ 处 $= (+1)\times(-1) < 0$ → 递减——正文相线图第 2 步原样用。⚠️ 翻车点：定号时每段只需试一个点——$f$ 连续且段内无零点，符号中途不会变脸。

自治方程：规则不看表的系统

本课研究的对象叫自治方程（autonomous equation）：

$$\frac{dy}{dt} = f(y)$$

右边只依赖 $y$，不依赖 $t$——变化规则不看钟表。咖啡方程 $T' = -k(T-20)$ 是自治的（降温规则只看当前温度，不管现在是早是晚）；$y' = y - t$ 不是。现实中的模型大多自治：物理规律、生态规律不会因为"今天星期几"而改变。

自治方程有个厉害的推论：在纵坐标 $y$ 相同的每一点，所有解曲线的斜率都相同。整个系统的行为被一条 $y$ 轴上的信息完全决定——这就是相线图能成立的原因。

平衡解：系统的"停车位"

若 $y^*$ 满足

$$f(y^*) = 0$$

则常函数 $y \equiv y^*$ 是方程的解（左边导数为 0，右边 $f(y^*) = 0$，两边恒等）。这样的解叫平衡解（equilibrium solution）：系统一旦处于 $y^*$，变化率为零，永远停在那里。

找平衡解 = 解代数方程 $f(y) = 0$——注意，是代数方程，中学手艺就够：

• 咖啡：$-k(T - 20) = 0 \Rightarrow T^* = 20$。凉到室温就停，第 1 课的伏笔全数回收
• $y' = (y-1)(y-3)$：$y^* = 1$ 和 $y^* = 3$，两个停车位
• $y' = y - y^2 = y(1-y)$：$y^* = 0$ 和 $y^* = 1$——上一课 S 形曲线的两端，原来是两个平衡位！

相线图：一根轴看清所有命运

不在停车位上的解往哪走？看 $f(y)$ 的符号就够了：$f(y) > 0$ 处 $y$ 递增（往上走），$f(y) < 0$ 处递减（往下走）。把这个信息画在一根竖直的 $y$ 轴上——标出平衡点、在每段区间画上箭头——就是相线图（phase line / phase plot）。

画法三步（以 $y' = (y-1)(y-3)$ 为例）：

1. 标停车位：$y = 1$、$y = 3$ 把轴切成三段
2. 逐段定号（每段抓一个试探点代入 $f$）：
   • $y > 3$：取 $y = 4$，$f = (3)(1) > 0$ → 箭头向上 ↑
   • $1 < y < 3$：取 $y = 2$，$f = (1)(-1) < 0$ → 箭头向下 ↓
   • $y < 1$：取 $y = 0$，$f = (-1)(-3) > 0$ → 箭头向上 ↑
3. 读图：$y = 1$ 两侧的箭头都指向它（下方 ↑、上方 ↓）——附近的解全被吸过来；$y = 3$ 两侧的箭头都背离它——附近的解全被推走

一根轴、两个点、三个箭头，系统的全部长期命运一览无余：起点低于 3 的解统统奔向 1；起点高于 3 的解一路飞向无穷；$y = 3$ 是一道分水岭。这些名字（稳定、不稳定）下一课正式颁发，今天先把图画熟。

从相线到解曲线：不积分也能画图

把相线图的信息横过来铺到 $t$-$y$ 平面上，就能徒手画出解曲线的骨架。规则只有三条：

1. 平衡解是水平直线（$y \equiv 1$、$y \equiv 3$）
2. 两条平衡线之间的解单调（箭头方向决定升降），且只能无限逼近平衡线、永远碰不到——碰到就意味着两条解曲线相交，而初值问题的解是唯一的（唯一性定理本单元只用不证）
3. 起点在最上/最下区间的解，沿箭头方向奔向无穷

对照检验：第 4 课解出的 $y' = y - y^2$ 精确解 $y = \dfrac{1}{1 + Ce^{-t}}$，其 S 形（从 0 上方出发、爬向 1）与相线图（0 送客、1 迎客、中段 ↑）逐条吻合。定性分析没有透露"多快"，但"往哪去"分毫不差——而后者往往才是问题真正问的。

✍️ 练习

练习 1 · 标准流程

画出 $y' = y^2 - 9$ 的相线图，并描述从 $y(0) = 0$ 出发的解的命运。

✅ 参考答案

平衡点：$y^2 - 9 = 0 \Rightarrow y^* = \pm 3$。定号：$y > 3$ 时 $f > 0$ ↑；$-3 < y < 3$ 时 $f < 0$ ↓；$y < -3$ 时 $f > 0$ ↑。读图：$-3$ 两侧箭头指向它（迎客），$3$ 两侧背离（送客）。

从 $y(0) = 0$ 出发：落在中段 ↓ 区间，解单调递减、无限逼近 $-3$（碰不到）。一次积分都没做，命运已定。

练习 2 · 无穷多个停车位

画 $y' = \sin y$ 的相线图（考虑 $-\pi$ 到 $2\pi$ 一段即可），指出哪些平衡点迎客、哪些送客。

✅ 参考答案

平衡点：$\sin y = 0 \Rightarrow y^* = n\pi$（整数倍），无穷多个。定号：$(0, \pi)$ 内 $\sin y > 0$ ↑；$(\pi, 2\pi)$ 内 $\sin y < 0$ ↓；$(-\pi, 0)$ 内 $\sin y < 0$ ↓。读图：$y = \pi$ 两侧箭头指向它（迎客）；$y = 0$ 两侧背离（送客）；一般地，奇数倍 $\pi$ 迎客、偶数倍 $\pi$ 送客，沿轴交替出现。这个方程的精确解极其难看，相线图三分钟出全部结论——定性分析的性价比宣言。

练习 3 · 三条起跑线

对 $y' = (y-1)(y-3)$，分别描述从 $y(0) = 0$、$y(0) = 2$、$y(0) = 4$ 出发的解的长期行为。

✅ 参考答案

正文相线图直接读：$y(0)=0$（最下段 ↑）：递增逼近 1。$y(0)=2$（中段 ↓）：递减逼近 1。$y(0)=4$（最上段 ↑）：递增奔向 $+\infty$。同一个方程，起点差 2，命运天壤之别——分水岭 $y=3$ 就是这么不讲情面。下一课给这两类平衡点正式命名。

📝 随堂测验

随堂测验0 / 5 题正确

1. 定性分析的核心价值是？

A比求精确解更快地算出解的公式B只对线性方程有效C在解不出公式（大多数方程的宿命）时，仍能回答“系统最终去哪”这类问题D替代积分的一种计算技巧

2. 自治方程 $y' = f(y)$ 的特征是？

A右边不含 $y$B右边只依赖 $y$、不显含 $t$——变化规则“不看钟表”，相线图因此成立C一定可以分离变量D一定是线性方程

3. 求 $y' = (y-1)(y-3)$ 的平衡解，需要做的是？

A解一个微分方程B对右边积分C画出精确解曲线D解代数方程 $(y-1)(y-3) = 0$——得常函数解 $y \equiv 1$ 和 $y \equiv 3$

4. 相线图上某区间箭头向上（↑）的含义是？

A该区间内 $f(y) > 0$，落在其中的解随时间递增B该区间内 $t$ 在增大C解在该区间加速D该区间没有解经过

5. 解曲线可以穿过平衡解那条水平线吗？

A可以，只要速度够快B只有线性方程不可以C不可以——穿过意味着两条解曲线相交，违背初值问题解的唯一性；只能无限逼近D平衡线本身不是解，谈不上穿过

本课小结

• 残酷事实：多数 ODE 无解析解；定性分析绕过公式直答"往哪去"
• 自治方程 $y' = f(y)$：规则不看钟表；一根 $y$ 轴信息决定全局
• 平衡解：$f(y^*) = 0$ 的常函数——找停车位只需解代数方程
• 相线图三步：标平衡点 → 逐段试探点定号画箭头 → 读图（迎客/送客/分水岭）
• 解曲线骨架三规则：平衡线水平；平衡线之间单调且只能渐近逼近（唯一性）；最外侧区间奔向无穷

延伸阅读（可选，跳过不影响主线）

• 回看第 1 课嵌入的 3Blue1Brown 视频 10 分钟起的相空间片段——当时是走马观花，现在你有了相线图的地基，能看出他画的正是二维版的"箭头场"（本课的相线是它的一维特例）

两侧箭头指向它的平衡点、背离它的平衡点、甚至一侧来一侧走的骑墙派——下一课给它们正式命名（稳定、不稳定、半稳定），并奉上一个免画图的导数判别法：代一个数，定一个性。