分部积分法 —— 乘积法则倒着走

本课导读

第 1 课说过：积分的每件兵器都是某条求导规则的倒放。链式法则倒放是换元；今天倒放乘积法则，得到的兵器叫分部积分。它专治换元法无从下口的场面——$\int x e^x\,dx$、$\int \ln x\,dx$、$\int e^x\sin x\,dx$：两个"不相干"函数的乘积，谁也不是谁的导数。

本课三个层次：公式本身（一次移项的胜利）、谁当 $u$ 的选人学问（口诀 + 原理）、两个招牌变化（$dv = dx$ 的妙手、循环积分解方程）。预计 40 分钟。

🔧 30 秒回顾 · 本课要用的旧手艺（熟练可跳过）

① 乘积法则：$(uv)' = u'v + uv'$。微例：$(xe^x)' = e^x + xe^x$——把它移项两边积分，例题 1 的答案已经在里面了。⚠️ 翻车点：和链式法则搞混——乘积法则管 $f\cdot g$，链式法则管 $f(g)$。

② 基本积分表速览（求 $v$ 专用）：$\int e^x dx = e^x$、$\int\cos x\,dx = \sin x$、$\int\sin x\,dx = -\cos x$、$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$。微例：$dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x$——例题 1 马上用。⚠️ 翻车点：$v$ 求错则全盘皆输；求 $v$ 时不用带 $+C$（最后统一给一个）。

③ 凑微分（第 1 课）：$\displaystyle\int\frac{x}{1+x^2}\,dx = \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$（分子是分母导数的一半）。微例：例题 4 的收尾原式。⚠️ 翻车点：忘 $\frac{1}{2}$。

公式：一次移项的胜利

乘积法则 $(uv)' = u'v + uv'$ 两边积分：

$$uv = \int v\,du + \int u\,dv$$

移项，就是分部积分公式的全部：

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

读懂它的关键：这是一笔交换，不是消灭。把"难积的 $\int u\,dv$"换成"希望好积的 $\int v\,du$"——$u$ 求了一次导（通常变简单），$dv$ 被积了一次（不能变复杂）。如果换完更难，说明角色分错了，回去重选。

谁当 u：反对幂三指

选人口诀：反、对、幂、三、指——反三角、对数、幂函数、三角函数、指数函数。排前面的当 $u$（求导后大降维），排后面的进 $dv$（积分后不变形，无损）。

家族	求导后	积分后	结论
反三角 $\arctan x$	变代数式 $\frac{1}{1+x^2}$（大降维）	没人会背	抢着当 $u$
对数 $\ln x$	变 $\frac{1}{x}$（大降维）	要靠分部才积得动	抢着当 $u$
幂 $x^n$	降一次 $n x^{n-1}$	升一次	中间派，看对手
三角 $\sin x$	原地转圈	原地转圈	安心进 $dv$
指数 $e^x$	完全不变	完全不变	安心进 $dv$

例题 1：求 $\displaystyle\int x e^x\,dx$。

幂排在指前面：$u = x$，$dv = e^x dx$。于是 $du = dx$，$v = e^x$（🔧 工具箱 ②，不带 $+C$）：

$$\int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x\,dx = (x-1)e^x + C$$

多次分部与表格法

例题 2：求 $\displaystyle\int x^2 e^x\,dx$。

$u = x^2$ 求导只降一次幂，所以要分部两轮：

$$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2\int x e^x dx = x^2 e^x - 2\left[(x-1)e^x\right] + C = (x^2 - 2x + 2)e^x + C$$

这类「幂 × (指数或三角)」的多轮分部有个流水线写法——表格法：左列对 $u$ 反复求导到 0，右列对 $dv$ 反复积分，斜线相乘、符号 $+,-,+,\dots$ 交替：

求导列        积分列       符号
x²            eˣ           +
2x            eˣ           −
2             eˣ           +
0             eˣ

沿斜线收账：$x^2\cdot e^x - 2x\cdot e^x + 2\cdot e^x + C = (x^2-2x+2)e^x + C$。一次写完，两轮分部的负号全帮你管好。

dv = dx 的妙手

例题 3：求 $\displaystyle\int \ln x\,dx$。

场上似乎没有"乘积"——但 $\ln x = \ln x \cdot 1$，那个看不见的 $1\,dx$ 就是 $dv$。令 $u = \ln x$，$dv = dx$，则 $du = \frac{dx}{x}$，$v = x$：

$$\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{dx}{x} = x\ln x - x + C$$

例题 4：求 $\displaystyle\int \arctan x\,dx$。

同一招：$u = \arctan x$，$dv = dx$：

$$\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \int \frac{x}{1+x^2}\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$$

（收尾那步是第 1 课的凑微分，🔧 工具箱 ③。）

循环积分：分部两次，解方程收网

例题 5：求 $I = \displaystyle\int e^x\sin x\,dx$。

指数和三角都"打不死"（求导积分都原地转圈），分部一次不解决问题——但转圈正是机会：转两圈回到原点，就能解方程。

第一轮（$u = \sin x$，$dv = e^x dx$）：

$$I = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx$$

第二轮对新积分继续（$u = \cos x$，$dv = e^x dx$——角色分配和第一轮同款：三角当 $u$，指数进 $dv$）：

$$I = e^x\sin x - \left[e^x\cos x + \int e^x\sin x\,dx\right] = e^x(\sin x - \cos x) - I$$

右边出现了 $I$ 本人——把它当未知数移项：

$$2I = e^x(\sin x - \cos x) \quad\Longrightarrow\quad I = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C$$

✍️ 练习

1. $\displaystyle\int x\sin x\,dx$

✅ 参考答案

$u = x$，$dv = \sin x\,dx$，$v = -\cos x$：

$$-x\cos x + \int\cos x\,dx = \sin x - x\cos x + C$$

2. $\displaystyle\int x\ln x\,dx$

✅ 参考答案

对数排在幂前面：$u = \ln x$，$dv = x\,dx$，$v = \frac{x^2}{2}$：

$$\frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{dx}{x} = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$$

3. $\displaystyle\int x e^{-x}\,dx$

✅ 参考答案

$u = x$，$dv = e^{-x}dx$，$v = -e^{-x}$：

$$-x e^{-x} + \int e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x} + C$$

负号密集区，验算一下：$\left[-(x+1)e^{-x}\right]' = -e^{-x} + (x+1)e^{-x} = xe^{-x}$ ✓

4. $\displaystyle\int (\ln x)^2\,dx$

✅ 参考答案

$u = (\ln x)^2$，$dv = dx$：

$$x(\ln x)^2 - \int x\cdot\frac{2\ln x}{x}\,dx = x(\ln x)^2 - 2\int\ln x\,dx$$

再用例题 3 的成品：$= x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x + C$。

5. $\displaystyle\int e^x\cos x\,dx$

✅ 参考答案

循环积分同款流程（两轮都让三角当 $u$）：

$$I = e^x\cos x + \int e^x\sin x\,dx = e^x\cos x + e^x\sin x - I$$$$I = \frac{e^x(\sin x + \cos x)}{2} + C$$

和例题 5 的结果互为"求导伴侣"，可以互相验算。

📝 随堂测验

随堂测验0 / 5 题正确

1. $\int x\cos x\,dx$ 该让谁当 $u$？

A$x$——幂排在三角前面，求导降维B$\cos x$C谁当都一样，结果相同D此题应该用换元法

2. $\int x^2\ln x\,dx$ 该让谁当 $u$？

A$x^2$B$x^2\ln x$ 整体C$\ln x$——对数优先级高于幂D无所谓

3. 分部积分公式是？

A$\int u\,dv = uv + \int v\,du$B$\int u\,dv = uv - \int v\,du$C$\int u\,dv = u'v - uv'$D$\int u\,dv = \int u\,dx\cdot\int v\,dx$

4. 求 $\int \ln x\,dx$ 的关键一招是？

A查表背结论即可，无技巧可言B令 $u = x$，$dv = \ln x\,dx$C先换元 $t = \ln x$D令 $u = \ln x$，$dv = dx$——看不见的 $dx$ 也能当 $dv$

5. 循环积分 $\int e^x\sin x\,dx$ 分部两次后出现 $I = \cdots - I$，下一步是？

A说明 $u$ 选错了，推倒重来B对两边求导消掉积分号C把 $I$ 当未知数移项解出，最后补上 $+C$D宣布该积分不存在

本课小结

• 分部积分 = 乘积法则倒着走：$\int u\,dv = uv - \int v\,du$，一笔交换——换完必须变简单，变难就回头换人
• 选 $u$ 口诀反对幂三指：反三角、对数抢着当 $u$（求导降维）；三角、指数安心进 $dv$（积分无损）；幂看对手
• 「幂 × 指/三角」要多轮分部——表格法流水线管好所有负号
• $dv = dx$ 妙手专治"单函数"局面：$\int\ln x\,dx$、$\int\arctan x\,dx$
• 循环积分：指数 × 三角转两圈回原点，把 $I$ 当未知数解方程；两轮选人从一而终，移项后补 $+C$
• 求 $v$ 时不带 $+C$，最后统一给

下一课换个战场：$\displaystyle\int\frac{dx}{x^2+4x+13}$——分母不能因式分解，换元分部都下不了手。请出中学的老手艺配方法，它在积分里有一场高光演出。