弹簧振子（下）—— 过阻尼、临界阻尼与"越用力越慢"

① 情况一/二速查（第 3 课）：两实根 → $c_1 e^{r_1 t} + c_2 e^{r_2 t}$；重根 → $(c_1 + c_2 t)e^{rt}$。微例：$r^2 + \tfrac{5}{2}r + 1 = 0$ 十字相乘 $(r + \tfrac{1}{2})(r + 2) = 0$——例题 1 原式。⚠️ 翻车点：重根写成两个独立指数项（影子解事故）。

② 指数衰减赛跑：$e^{rt}$（$r < 0$）中 $|r|$ 越大死得越快；$t \to \infty$ 时最慢的那项说了算。微例：$\tfrac{4}{3}e^{-t/2} - \tfrac{1}{3}e^{-2t}$ 的长期行为由 $e^{-t/2}$ 主宰。⚠️ 翻车点：误以为系数大的项主宰长期行为——指数面前系数是弟弟。

③ 求函数最大值：驻点法 $x'(t) = 0$。微例：$x = e^{-t} - e^{-2t}$，令 $x' = -e^{-t} + 2e^{-2t} = 0$ 得 $e^t = 2$，$t = \ln 2$——练习 3 原式。⚠️ 翻车点：解 $e^{-t} = 2e^{-2t}$ 时两边除以 $e^{-2t}$ 的方向搞反。

设 $x(t) = c_1 e^{r_1 t} + c_2 e^{r_2 t} = 0$（$c_1, c_2 \neq 0$，否则更没戏）。移项：

左边是严格单调的指数函数，任何水平线最多与它相交一次——所以方程最多一个解，即轨迹最多穿越 $x = 0$ 一次（初速度朝平衡位置猛冲时可能冲过头一次，然后从另一侧慢慢爬回）。同样的论证对临界阻尼的 $(c_1 + c_2 t)e^{rt} = 0$ 也成立：线性函数 $c_1 + c_2 t$ 最多一个零点。

$\Delta = \tfrac{25}{4} - 4 = \tfrac{9}{4} > 0$：过阻尼。十字相乘（🔧 工具箱 ①）：$\left(r + \tfrac{1}{2}\right)(r + 2) = 0$，$r = -\tfrac{1}{2}, -2$。通解：

$x(0) = c_1 + c_2 = 1$；$x' = -\tfrac{1}{2}c_1 e^{-t/2} - 2c_2 e^{-2t}$，$x'(0) = -\tfrac{1}{2}c_1 - 2c_2 = 0 \Rightarrow c_1 = -4c_2$。联立：$-4c_2 + c_2 = 1 \Rightarrow c_2 = -\tfrac{1}{3},\ c_1 = \tfrac{4}{3}$：

长期行为（🔧 工具箱 ②）：$e^{-2t}$ 项很快烧完，剩 $x \approx \tfrac{4}{3}e^{-t/2}$——慢根 $r_1 = -\tfrac{1}{2}$ 主宰归途。这个"慢根说了算"是本课压轴反转的伏笔，记住它。

$(r + 1)^2 = 0$，重根 $r = -1$，通解 $x = (c_1 + c_2 t)e^{-t}$。

$x(0) = c_1 = 1$。求导：$x' = (c_2 - c_1 - c_2 t)e^{-t}$，$x'(0) = c_2 - 1 = 0 \Rightarrow c_2 = 1$：

比赛结果：临界系统按 $e^{-t}$ 收敛，例题 1 的过阻尼系统按 $e^{-t/2}$ 收敛——临界更快。数值感受：$t = 6$ 时临界的 $(1+6)e^{-6} \approx 0.017$，过阻尼的 $\tfrac{4}{3}e^{-3} \approx 0.066$，差近 4 倍且差距持续拉大。同样的 $m, k$、更小的 $c$，回家反而更快——怎么回事？往下看。

判别式 $\Delta = 36 - 4k$。

(a) $\Delta = 16 > 0$：过阻尼。$r^2 + 6r + 5 = (r+1)(r+5) = 0$，$x = c_1 e^{-t} + c_2 e^{-5t}$。 (b) $\Delta = 0$：临界阻尼。$(r+3)^2 = 0$，$x = (c_1 + c_2 t)e^{-3t}$。 (c) $\Delta = -16 < 0$：欠阻尼。$r = -3 \pm 2i$，$x = e^{-3t}(c_1\cos 2t + c_2\sin 2t)$。

同一根弹簧，$k$ 从软到硬把系统从"蠕行"推进到"振荡"——判别式一眼定乾坤。

$c_{\text{cr}} = 2\sqrt{mk} = 2\sqrt{100} = 20$。$c = 25 > 20$：过阻尼——减震"过头"，回位偏慢；工程上多半会把阻尼往 20 附近调。

$(r+1)(r+2) = 0$，过阻尼，$x = c_1 e^{-t} + c_2 e^{-2t}$。初值：$c_1 + c_2 = 0$，$-c_1 - 2c_2 = 1$ ⟹ $c_1 = 1, c_2 = -1$：

驻点（🔧 工具箱 ③）：$x' = -e^{-t} + 2e^{-2t} = 0 \Rightarrow e^t = 2 \Rightarrow t = \ln 2 \approx 0.69$。最大位移 $x(\ln 2) = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{4}$。此后单调爬回平衡，不再过零——"最多穿越一次"这里体现为：出发时在零点，之后再也不回穿。