单元测验：二阶微分方程关卡

特征方程：$r^2 + 4r + 13 = 0$，$\Delta = 16 - 52 = -36 < 0$，$r = -2 \pm 3i$。通解：

初值：$y(0) = A = 2$。求导归堆（别漏外壳）：$y' = e^{-2t}\left[(-2A + 3B)\cos 3t + (-3A - 2B)\sin 3t\right]$，代 $y'(0) = 2$：$-4 + 3B = 2 \Rightarrow B = 2$。

振幅-相位：$R = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}$；$\cos\varphi = \sin\varphi = \tfrac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \varphi = \tfrac{\pi}{4}$（双正，第一象限）：

物理判读：复根 = 振荡 + 衰减外壳 ⟹ 欠阻尼（$m = 1, c = 4, k = 13$：$c^2 = 16 < 52 = 4mk$ ✅）。准频率 3，包络线 $\pm 2\sqrt{2}e^{-2t}$。

骨架：$r^2 - 4 = 0$，$r = \pm 2$，$y_h = c_1 e^{2x} + c_2 e^{-2x}$。

零件一 $g_1 = 8x$：猜 $Ax + B$，代入 $-4(Ax + B) \equiv 8x$ 得 $A = -2, B = 0$，$y_{p1} = -2x$。

零件二 $g_2 = e^{2x}$：撞骨架（$e^{2x}$ 是齐次解）！乘 $x$ 改猜 $Axe^{2x}$。求导：$(xe^{2x})' = (1 + 2x)e^{2x}$，$(xe^{2x})'' = (4 + 4x)e^{2x}$，代入：

组装：

评分点自查：① 先跑骨架了吗？② 拆右端了吗？③ 查撞车了吗？④ 多项式猜想带常数项 $B$ 了吗（哪怕最后为零）？

(a) 临界刻度 $c_{\text{cr}} = 2\sqrt{mk} = 10$。

• $c = 6 < 10$：欠阻尼。$r^2 + 6r + 25 = 0$，$r = -3 \pm 4i$：$x = e^{-3t}(c_1\cos 4t + c_2\sin 4t)$——减幅振荡，准频率 4。
• $c = 10$：临界阻尼。$(r + 5)^2 = 0$：$x = (c_1 + c_2 t)e^{-5t}$——不振荡阵营的回位冠军。
• $c = 26 > 10$：过阻尼。$r^2 + 26r + 25 = (r + 1)(r + 25) = 0$：$x = c_1 e^{-t} + c_2 e^{-25t}$——慢根 $-1$ 主宰归途，比临界的 $-5$ 慢得多：阻尼过猛反而回家慢。

(b) $\omega_0 = \sqrt{25} = 5$，驱动频率也是 5——纯共振。右端撞齐次解，乘 $t$：

振幅包络 $\pm t$ 线性张开，能量只进不出，系统终将超出线性模型的适用范围（实物层面：解体）。若保留一点阻尼（如 (a) 的任何一档），振幅将被压在有限的共振峰下——阻尼是兜底的安全网。