🎯 人口模型专题 —— 从指数噩梦到渔场崩溃

① 求根公式与判别式：$aP^2 + bP + c = 0 \Rightarrow P = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$；判别式缩到 0 ⇔ 两根相向而行、合并成一个。微例：$P^2 - 1000P + 187500 = 0 \Rightarrow P = \dfrac{1000 \pm 500}{2}$——例题 3 原式。⚠️ 翻车点：$b$ 本身带负号时 $-b$ 的符号。

② 用 $\ln$ 解指数方程：$e^{kt} = A \Leftrightarrow kt = \ln A$；$\ln(a^b) = b\ln a$。微例：$e^{3k} = 2 \Rightarrow k = \dfrac{\ln 2}{3}$——任务 1 原式。⚠️ 翻车点：$\ln(a+b)$ 没有展开式，别硬拆。

③ 本单元兵器速览：分离变量（第 2 课）、伯努利换元 $v = y^{1-n}$（第 4 课）、相线图与 $f'$ 判别法（第 5-6 课）——四幕战役全靠它们，生疏哪个回哪课。

$f(P) = kP - h = 0$ 给出 $P^* = \dfrac{h}{k}$；$f'(P^*) = k > 0$——不稳定，山顶的球。相线：$P > h/k$ 时 $f > 0$ ↑（增长跑赢收割，奔向无穷）；$P < h/k$ 时 $f < 0$ ↓（收割吃穿老本，坠向灭绝）。

$P^* = h/k$ 是一条生死线：种群命运由初值站在线的哪一侧决定，而且这个平衡自身留不住——第 6 课"不稳定平衡是纸面状态"的活例。

方程是一阶线性（也可分离）。用积分因子 $\mu = e^{-kt}$：$(e^{-kt}P)' = -he^{-kt}$，积分得 $e^{-kt}P = \dfrac{h}{k}e^{-kt} + C$：

读解：偏差 $\left(P_0 - \frac{h}{k}\right)$ 被 $e^{kt}$ 指数放大（对照咖啡的 $e^{-kt}$ 指数遗忘——符号一换，天堂地狱）。$P_0$ 略低于生死线时，括号为负、放大到 $P = 0$：有限时间灭绝。定性图景逐条兑现。

$f(P) = rP(1 - P/K) = 0$：平衡点 $P^* = 0$ 与 $P^* = K$。求导 $f'(P) = r - \dfrac{2rP}{K}$：$f'(0) = r > 0$ 不稳定；$f'(K) = -r < 0$ 稳定。

结论已经能写报告了：任何正初值的种群终将稳定在承载力 $K$。灭绝态 $0$ 是送客的，碰不得一点生机。

这是伯努利方程（$n = 2$）：展开 $P' - rP = -\dfrac{r}{K}P^2$，令 $v = 1/P$ 走一遍第 4 课流程（那里解的 $y' = y - y^2$ 就是 $r = K = 1$ 的特例），得

$P_0 < K$ 时 $C > 0$：标准 S 形曲线——起步慢（基数小）、中段快（火力全开）、封顶慢（空间挤）。且 $t \to \infty$ 时 $P \to K$，与第 1 步的定性结论互相盖章。

$0.4P\left(1 - \dfrac{P}{1000}\right) - 75 = 0$，两边乘 $\dfrac{1000}{0.4} = 2500$ 并整理（🔧 工具箱 ①：求根公式）：

两个平衡点：$P^* = 250$ 和 $P^* = 750$。

$f'(P) = 0.4 - 0.0008P$：$f'(750) = -0.2 < 0$ 稳定；$f'(250) = +0.2 > 0$ 不稳定。

报告：鱼群会稳定运行在 750 吨（可持续 ✓）；但 250 吨是暗礁——一场赤潮、一次偷捕把存量砸破 250，系统就滑进 $f < 0$ 的深渊，再也回不来。收割把 Logistic 原本"任何正初值都得救"的宽厚，改成了"跌破门槛就灭绝"的冷酷。

调大 $h$，判别式 $K^2 - \dfrac{4hK}{r}$ 缩小——两个平衡点相向而行（稳定点降、暗礁升），在判别式归零处相撞湮灭（第 6 课练习 3 的剧情原封重演）。临界值：

$h$ 越过 100 的一瞬间，平衡点消失、$f(P) < 0$ 处处成立：无论存量多雄厚，灭绝是唯一结局。最阴险的是崩溃前毫无渐变的预警——$h = 99$ 时系统看起来还稳稳地运行着（平衡点仍在），$h = 101$ 时大势已去。这正是历史上多个渔业（如纽芬兰鳕鱼场）"前一年还有鱼、后一年就没了"的数学机制。

$P = P_0 e^{kt}$，翻倍条件 $e^{3k} = 2$ 给 $k = \dfrac{\ln 2}{3}$。求 $e^{kt} = 10$：$t = \dfrac{\ln 10}{k} = \dfrac{3\ln 10}{\ln 2} \approx 9.97$ 小时。指数增长的直觉冲击：翻一番要 3 小时，翻十倍只要不到 10 小时（因为 $10 \approx 2^{3.32}$——十倍不过是三番多一点）。

$C = \dfrac{K - P_0}{P_0} = \dfrac{90}{10} = 9$，故 $P(t) = \dfrac{100}{1 + 9e^{-t}}$。令 $P = 50$：$1 + 9e^{-t} = 2$，$e^{-t} = \dfrac{1}{9}$，$t = \ln 9 \approx 2.2$ 年。附赠一个 S 形的小秘密：$P = K/2$ 恰是增长率 $f(P)$ 的最大值点（对 $f$ 求导可证）——半满时长势最猛。

平衡方程两边乘 $\dfrac{2000}{0.6}$：$P^2 - 2000P + 960000 = 0$，判别式 $4\times10^6 - 3.84\times10^6 = 160000$，$\sqrt{\cdot} = 400$：$P^* = 800$（不稳定暗礁）与 $P^* = 1200$（稳定运行位，$f' = 0.6 - 0.0006P$，$f'(1200) = -0.12 < 0$ ✓）。临界值 $h_c = \dfrac{0.6 \times 2000}{4} = 300$ 吨/年。

结论：方案可行但逼近红线（288 对 300，安全边际 4%），暗礁高达 800 吨——建议下调捕捞量为系统留出扰动缓冲。