有理函数积分实战 —— 流水线总装

本课导读

前五课的兵器今天合体。有理函数积分是初等积分里少有的包赢战场：任何 $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ 都保证积得出初等答案，而且流程完全机械化——检查、拆解、逐项收割，没有灵感环节。这也是它在考试里高频出没的原因：考的不是聪明，是工序完整。

本课先立流水线和"积木兵器谱"，然后打四场规格递增的实战，最后把第 4 课欠的"第三张脸"$u^2 - a^2$ 的账清掉。预计 45 分钟。

🔧 30 秒回顾 · 本课要用的旧手艺（熟练可跳过）

① 拆弹流程（第 5 课）：假分式先长除法；分母拆到只剩一次因子和 $\Delta<0$ 二次因子；按模板放待定分子、三板斧定系数。微例：$\dfrac{3x^2+x+8}{x(x^2+4)} = \dfrac{2}{x} + \dfrac{x+1}{x^2+4}$——上节课的成品，例题 3 直接续用。⚠️ 翻车点：忘了先验真假分式。

② 对数型凑微分（第 1 课）：$\displaystyle\int\frac{du}{u} = \ln|u| + C$，推广形 $\displaystyle\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + C$。微例：$\displaystyle\int\frac{2x}{x^2+4}\,dx = \ln(x^2+4) + C$。⚠️ 翻车点：绝对值——分母恒正（如 $x^2+4$）时才可省。

③ 配方 + 分子拆两半（第 4 课）：$\dfrac{Bx+C}{\text{不可约二次}}$ 拆成「分母导数的倍数（走 $\ln$）+ 纯常数（配方走 $\arctan$）」。微例：第 4 课例题 3 的 $x+3 = \frac{1}{2}(2x+2) + 2$。⚠️ 翻车点：拆完的常数算错——花 3 秒展开验算。

总装流水线：四道工序

$$\int\frac{P(x)}{Q(x)}\,dx \quad\longrightarrow\quad \text{①验身} \to \text{②拆分母} \to \text{③部分分式} \to \text{④逐项收割}$$

1. 验身：真分式还是假分式？假的先长除法，多项式部分白送
2. 拆分母：因式分解到"到站"标准（一次因子 + $\Delta<0$ 二次因子）
3. 部分分式：模板 + 三板斧（全是第 5 课的活）
4. 逐项收割：每块积木查下面的兵器谱

积木兵器谱——第 5 课保证了拆出来的积木只有三种：

积木	积分结果	出处
$\dfrac{A}{x-a}$	$A\ln\lvert x-a\rvert + C$	第 1 课线性换元
$\dfrac{A}{(x-a)^n},\ n\ge 2$	$\dfrac{A}{1-n}(x-a)^{1-n} + C$（幂法则！）	第 1 课
$\dfrac{Bx+C}{x^2+px+q},\ \Delta<0$	$\ln$ + $\arctan$（分子拆两半）	第 4 课

例题 1（相异一次因子）：$\displaystyle\int\frac{3x+11}{x^2-x-6}\,dx$

①验身：1 次对 2 次，真分式。②拆分母：$x^2-x-6 = (x-3)(x+2)$。③部分分式（遮盖法，🔧 工具箱 ①）：

$$A = \frac{3(3)+11}{3+2} = 4 \qquad B = \frac{3(-2)+11}{-2-3} = -1$$

④收割：

$$\int\left[\frac{4}{x-3} - \frac{1}{x+2}\right]dx = 4\ln|x-3| - \ln|x+2| + C$$

例题 2（假分式先除法）：$\displaystyle\int\frac{x^3+x^2+x+3}{x^2+1}\,dx$

①验身：3 次对 2 次——假分式，先除法。竖式（或观察 $x^3+x^2+x+3 = (x^2+1)(x+1) + 2$）：

$$\frac{x^3+x^2+x+3}{x^2+1} = x + 1 + \frac{2}{x^2+1}$$

多项式部分白送，剩下的连部分分式都不用（分母本身就是终点站积木）：

$$\int\left[x + 1 + \frac{2}{x^2+1}\right]dx = \frac{x^2}{2} + x + 2\arctan x + C$$

例题 3（不可约二次因子）：$\displaystyle\int\frac{3x^2+x+8}{x(x^2+4)}\,dx$

第 5 课例题 4 已经拆好（🔧 工具箱 ①）：$\dfrac{2}{x} + \dfrac{x+1}{x^2+4}$。逐项收割——第二块积木分子拆两半（🔧 工具箱 ③）：$x + 1 = \frac{1}{2}(2x) + 1$：

$$\int\frac{2}{x}\,dx + \frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^2+4}\,dx + \int\frac{dx}{x^2+4}$$ $$= 2\ln|x| + \frac{1}{2}\ln(x^2+4) + \frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2} + C$$

三条路三个兵器：$\ln$（一次积木）、$\ln$（$f'/f$ 凑微分）、$\arctan$（配方标准脸，本例分母已是 $x^2+2^2$ 连配方都省了）。

例题 4（重根收官）：$\displaystyle\int\frac{4x}{(x-1)^2(x+1)}\,dx$

第 5 课例题 3 已经拆好：$\dfrac{1}{x-1} + \dfrac{2}{(x-1)^2} - \dfrac{1}{x+1}$。收割时看清每块积木该用的兵器——中间那块走幂法则：

$$\int\frac{4x\,dx}{(x-1)^2(x+1)} = \ln|x-1| \;\underbrace{-\;\frac{2}{x-1}}_{\text{幂法则，不是 } \ln\text{！}}\; - \ln|x+1| + C = \ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| - \frac{2}{x-1} + C$$

清账时间：第三张脸 $u^2 - a^2$

第 4 课的标准脸表格里留了一格"下一课推"。现在武器齐了，30 秒清账——部分分式拆它：

$$\frac{1}{u^2-a^2} = \frac{1}{(u-a)(u+a)} = \frac{1}{2a}\left[\frac{1}{u-a} - \frac{1}{u+a}\right]$$ $$\int\frac{du}{u^2-a^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{u-a}{u+a}\right| + C$$

至此三张标准脸集齐：$u^2+a^2 \to \arctan$、$\sqrt{a^2-u^2} \to \arcsin$、$u^2-a^2 \to \ln$。判别式罗盘从此指哪打哪。

✍️ 练习

1. $\displaystyle\int\frac{dx}{x^2-9}$

✅ 参考答案

刚推的公式，$a = 3$：

$$\frac{1}{6}\ln\left|\frac{x-3}{x+3}\right| + C$$

（第 4 课练习 5 的预告兑现。）

2. $\displaystyle\int\frac{x^2+1}{x-1}\,dx$

✅ 参考答案

假分式先除：$x^2+1 = (x-1)(x+1) + 2$：

$$\int\left[x + 1 + \frac{2}{x-1}\right]dx = \frac{x^2}{2} + x + 2\ln|x-1| + C$$

3. $\displaystyle\int\frac{2x+1}{x^2+x}\,dx$（两条路，都走走）

✅ 参考答案

路线 A（部分分式）：第 5 课练习 2 拆过，$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+1}$，积成 $\ln|x| + \ln|x+1| + C$。

路线 B（快枪手）：认出分子恰是分母的导数——$f'/f$ 直接 $\ln|x^2+x| + C$。

两个答案相同（$\ln|x| + \ln|x+1| = \ln|x^2+x|$）。流水线保证包赢，但上线前先扫一眼有没有捷径，$f'/f$ 是最常见的一条。

4. $\displaystyle\int\frac{x^2+2}{x(x^2+1)}\,dx$

✅ 参考答案

第 5 课练习 4 拆过：$\dfrac{2}{x} - \dfrac{x}{x^2+1}$。第二块拆两半后只有 $\ln$ 路（常数为 0）：

$$2\ln|x| - \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + C$$

5.（挑战题）$\displaystyle\int\frac{dx}{x(x^2+2x+2)}$——全流程走完。

✅ 参考答案

② $x^2+2x+2$ 的 $\Delta = -4 < 0$，到站。③ 模板 $\dfrac{A}{x} + \dfrac{Bx+C}{x^2+2x+2}$：遮盖法 $A = \frac{1}{2}$；比较系数 $x^2$：$A + B = 0 \Rightarrow B = -\frac{1}{2}$；$x^1$：$2A + C = 0 \Rightarrow C = -1$。

④ 第二块分子 $-\frac{1}{2}x - 1 = -\frac{1}{4}(2x+2) - \frac{1}{2}$（拆两半，验算：$-\frac{1}{4}(2x+2) - \frac{1}{2} = -\frac{x}{2} - 1$ ✓）：

$$\frac{1}{2}\ln|x| - \frac{1}{4}\ln(x^2+2x+2) - \frac{1}{2}\arctan(x+1) + C$$

三种兵器一题打全——做顺这道题，本课毕业。

📝 随堂测验

随堂测验0 / 5 题正确

1. 拿到 $\displaystyle\int\frac{x^3+1}{x^2-1}\,dx$，流水线第一道工序是？

A分母因式分解B验身：分子 3 次 ≥ 分母 2 次，假分式，先长除法C直接摆部分分式模板D配方

2. $\displaystyle\int\frac{dx}{(x-2)^2} = $ ?

A$\ln(x-2)^2 + C$B$\tfrac{1}{2}\ln|x-2| + C$C$\dfrac{1}{x-2} + C$D$-\dfrac{1}{x-2} + C$

3. $\dfrac{x+5}{(x-1)(x+1)}$ 的部分分式分解是？

A$\dfrac{3}{x-1} - \dfrac{2}{x+1}$B$\dfrac{3}{x-1} + \dfrac{2}{x+1}$C$-\dfrac{2}{x-1} + \dfrac{3}{x+1}$D$\dfrac{5}{x-1} - \dfrac{5}{x+1}$

4. 拆分后出现积木 $\dfrac{2x+3}{x^2+2x+5}$（分母 $\Delta<0$），下一步是？

A对它再做一轮部分分式B长除法C分子拆两半：$(2x+2) + 1$——前者走 $\ln$，后者配方走 $\arctan$D令 $u = x^2+2x+5$ 整体换元

5. 「任何有理函数都积得出初等答案」的底气来自哪里？

A积分表足够厚B牛顿-莱布尼茨公式C考试大纲的规定D流水线保证只产出三种积木，而每种积木都有现成的积分公式

本课小结

• 四道工序：验身（假分式先除法）→ 拆分母（到站标准）→ 部分分式（三板斧）→ 逐项收割（查兵器谱）
• 兵器谱：$\frac{A}{x-a} \to \ln$；$\frac{A}{(x-a)^n} \to$ 幂法则（头号翻车点：这里不是 $\ln$）；$\frac{Bx+C}{\Delta<0\text{ 二次式}} \to$ 分子拆两半，$\ln$ + $\arctan$
• 第三张脸清账：$\displaystyle\int\frac{du}{u^2-a^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{u-a}{u+a}\right| + C$——用部分分式自己推的
• 上流水线前扫一眼捷径：$f'/f$ 结构直接 $\ln$，白捡
• 有理函数积分包赢——但赢在工序完整，漏一道就全盘错

S4 兵器架盘点（六课收官）：换元（链式法则倒放）→ 三角易容 → 分部（乘积法则倒放）→ 配方驯二次式 → 拆弹代数 → 流水线总装。这套手艺正是 S5/S6 里每一句"两边积分"的底气。本单元后续还会继续扩编——兵器架上还留着几个空位。