二阶偏导数与链式法则 —— 弯曲档案和求导流水线

本课导读

本课两个主题，都是"老手艺的组装升级"。二阶偏导数：对偏导数再求偏导——一维时 $f''$ 记录曲线的弯曲，二维时四个二阶偏导记录曲面各方向的弯法，它们是第 8 课极值判别法的全部原料；途中有个漂亮的免费定理（混合偏导相等）。链式法则：当 $x, y$ 自己又是别的变量的函数时（比如都随时间变化），$z$ 对最底层变量的导数怎么求——口诀六个字：沿路相乘，路间相加。它还是下一课方向导数公式的发动机。预计 45 分钟。

🔧 30 秒回顾 · 本课要用的旧手艺（熟练可跳过）

① 冻结-求导（第 4 课）：求 $f_x$ 冻 $y$、求 $f_y$ 冻 $x$。微例：$f = x^3y^2$，$f_x = 3x^2y^2$——例题 1 就从它继续往下导。⚠️ 翻车点：连导两次时中途忘了"现在对谁求导"。

② 一维链式：外导乘内导。微例：$\frac{d}{dt}\left(\cos^2 t\right) = 2\cos t \cdot (-\sin t)$——例题 3 的验算原式。⚠️ 翻车点：内层导数漏乘。

③ 三角求导对：$(\sin t)' = \cos t$，$(\cos t)' = -\sin t$。微例：例题 3 里 $x = \cos t$ 的 $\frac{dx}{dt} = -\sin t$。⚠️ 翻车点：cos 的负号。

四个二阶偏导数

一阶偏导数 $f_x, f_y$ 本身也是二元函数，可以继续求偏导。两个一阶、每个再有两个方向，共四个二阶偏导数：

$$f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\left(f_x\right), \qquad f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(f_y\right), \qquad f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(f_x\right), \qquad f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}\left(f_y\right)$$

下标读法：从左到右依次操作——$f_{xy}$ 是"先对 $x$、再对 $y$"。（分数记号 $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = f_{xy}$ 则从右往左读，两套记号方向相反，认准一套即可。）

几何身份：$f_{xx}$ 记录沿 $x$ 方向切片的弯曲（正 = 谷型上凹、负 = 脊型下凸），$f_{yy}$ 同理管 $y$ 方向——一维"二阶导管凹凸"的方向版。$f_{xy}$ 是扭曲项：$x$ 方向的斜率随 $y$ 变化的快慢（想象拧毛巾）。三者在第 8 课组装成判别式 $D$。

例题 1 · 四连求导

求 $f(x, y) = x^3 y^2 + y^3$ 的全部四个二阶偏导数。

✅ 解法展开

一阶（上一课例题 1 的现货）：$f_x = 3x^2y^2$，$f_y = 2x^3y + 3y^2$。继续（🔧 工具箱 ①，每一步先问"现在冻谁"）：

$$f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\left(3x^2y^2\right) = 6xy^2, \qquad f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(2x^3y + 3y^2\right) = 2x^3 + 6y$$$$f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(3x^2y^2\right) = 6x^2y, \qquad f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}\left(2x^3y + 3y^2\right) = 6x^2y$$

盯住最后两个：$f_{xy} = f_{yx} = 6x^2y$——先 $x$ 后 $y$ 和先 $y$ 后 $x$，殊途同归。不是巧合：

链式法则：沿路相乘，路间相加

新剧情：$z = f(x, y)$，而 $x, y$ 自己又是 $t$ 的函数——比如一只蚂蚁在地形 $f$ 上爬，位置 $\left(x(t),\, y(t)\right)$ 随时间变化，它脚下的海拔 $z$ 随时间怎么变？

链式法则（chain rule）：

$$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}$$

结构记法——画变量树：$z$ 在顶，往下分两枝到 $x$ 和 $y$，每枝再通到 $t$。从 $z$ 到 $t$ 有两条路（$z \to x \to t$ 与 $z \to y \to t$），规则六个字：

沿路相乘，路间相加。

直觉：$t$ 动一点，$x$ 和 $y$ 各自跟着动（两条传导链），$z$ 收到两份变化——每份 = 该链上导数连乘（一维链式的老规矩），总账 = 两份相加。其实你在第 5 课已经见过它的静态版：全微分 $\Delta z \approx f_x \Delta x + f_y \Delta y$ 两边除以 $\Delta t$ 取极限，就是上式——链式法则 = 全微分的"每秒结算版"。

例题 2 · 蚂蚁的海拔时速

$z = x^2 y$，蚂蚁位置 $x = \cos t$，$y = \sin t$（在单位圆上爬）。求 $\dfrac{dz}{dt}$，并在 $t = \dfrac{\pi}{2}$ 处求值。

第 1 步 · 链式装配

四样零件（🔧 工具箱 ③）：$\dfrac{\partial z}{\partial x} = 2xy$，$\dfrac{\partial z}{\partial y} = x^2$，$\dfrac{dx}{dt} = -\sin t$，$\dfrac{dy}{dt} = \cos t$。装配：

$$\frac{dz}{dt} = 2xy \cdot (-\sin t) + x^2 \cdot \cos t = -2\cos t \sin^2 t + \cos^3 t$$

（末尾把 $x = \cos t, y = \sin t$ 回代成纯 $t$ 表达式。）$t = \tfrac{\pi}{2}$：$\cos\tfrac{\pi}{2} = 0$ ⟹ 两项全零，$\dfrac{dz}{dt} = 0$——蚂蚁此刻在 $(0, 1)$，海拔变化率恰好为零。

第 2 步 · 直接代入法验算

本题恰好能"先代后导"：$z = \cos^2 t \sin t$，直接求导（🔧 工具箱 ②，乘积 + 链式）：

$$\frac{dz}{dt} = 2\cos t(-\sin t)\sin t + \cos^2 t \cos t = -2\cos t\sin^2 t + \cos^3 t$$

两条路答案一致 ✅。那链式法则图什么？三件事：中间变量多或代入后式子爆炸时它更省；$f$ 只有数据没有公式时（偏导数由测量给出）它是唯一选择；以及它是下一课方向导数的理论发动机——不只是计算术，更是结构定理。

多参数版：若 $z = f(x, y)$ 而 $x = x(s, t)$、$y = y(s, t)$（两层都是多变量），规则不变——对谁求偏导，就数从 $z$ 通到谁的路：

$$\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}$$

（$\partial z/\partial t$ 同构。）树画对，路数对，公式就自己长出来——不需要背每个变体。

✍️ 练习

练习 1 · 二阶全家福 + 免费验算

求 $f(x, y) = x e^{xy}$ 的四个二阶偏导数，并用 Clairaut 定理核对混合项。

✅ 参考答案

一阶（上一课练习 1(d) 现货）：$f_x = e^{xy} + xye^{xy} = (1 + xy)e^{xy}$，$f_y = x^2 e^{xy}$。

$$f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\left[(1+xy)e^{xy}\right] = ye^{xy} + (1+xy)\,y e^{xy} = y(2 + xy)e^{xy}$$$$f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(x^2 e^{xy}\right) = x^3 e^{xy}$$$$f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left[(1+xy)e^{xy}\right] = xe^{xy} + (1+xy)\,x e^{xy} = x(2 + xy)e^{xy}$$$$f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}\left(x^2 e^{xy}\right) = 2xe^{xy} + x^2 y e^{xy} = x(2 + xy)e^{xy}$$

$f_{xy} = f_{yx}$ ✅——验算通过。注意本题 $f_{yx}$ 那条路（从 $x^2e^{xy}$ 出发）明显更顺手：Clairaut 红利 ①"挑好走的顺序"的实例。

练习 2 · 链式基本功

$z = \ln(x^2 + y^2)$，$x = 2t$，$y = t^2$。求 $\dfrac{dz}{dt}$（结果用 $t$ 表示）。

✅ 参考答案

零件：$z_x = \dfrac{2x}{x^2+y^2}$，$z_y = \dfrac{2y}{x^2+y^2}$，$x' = 2$，$y' = 2t$。装配并回代 $x = 2t, y = t^2$：

$$\frac{dz}{dt} = \frac{4x + 4ty}{x^2 + y^2} = \frac{8t + 4t^3}{4t^2 + t^4} = \frac{4t(2 + t^2)}{t^2(4 + t^2)} = \frac{4(2 + t^2)}{t(4 + t^2)}$$

（验算通道：$z = \ln(4t^2 + t^4)$ 直接求导 $\frac{8t + 4t^3}{4t^2 + t^4}$，一致 ✅。）

练习 3 · 变量树多参数版

$z = x^2 + xy$，$x = s + t$，$y = st$。求 $\dfrac{\partial z}{\partial s}$，并在 $s = 1, t = 2$ 处求值。

✅ 参考答案

$$\frac{\partial z}{\partial s} = (2x + y)\cdot 1 + x \cdot t$$

代 $s = 1, t = 2$：$x = 3$，$y = 2$，得 $(6 + 2) + 3 \times 2 = 14$。

（验算：$z = (s+t)^2 + (s+t)st$，$\partial z/\partial s = 2(s+t) + 2st + s t^2$？小心乘积：$\frac{\partial}{\partial s}\left[(s+t)st\right] = st + (s+t)t$。代值：$2 \cdot 3 + 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2 = 6 + 2 + 6 = 14$ ✅。）

📝 随堂测验

随堂测验0 / 5 题正确

1. $f_{xy}$（下标记号）的含义是？

A$f_x$ 与 $f_y$ 的乘积B二阶导数的平均C先对 $x$ 求偏导，再对所得结果对 $y$ 求偏导D先对 $y$ 再对 $x$

2. Clairaut 定理（$f_{xy} = f_{yx}$）在实操中的两重用途是？

A减少一阶偏导数的计算量；判断极限存在B证明函数连续；求切平面C判断可微性；求方向导数D挑更好算的求导顺序；兼职验算器——两条路结果不同必有算错

3. $z = f(x,y)$，$x = x(t)$，$y = y(t)$，则 $\dfrac{dz}{dt} = $？

A$f_x\,\dfrac{dx}{dt} + f_y\,\dfrac{dy}{dt}$——沿路相乘，路间相加B$f_x + f_y$C$f_x\,\dfrac{dx}{dt} \times f_y\,\dfrac{dy}{dt}$D$\dfrac{dx}{dt} + \dfrac{dy}{dt}$

4. $f_{xx} > 0$ 在几何上说明？

A曲面在该点上升B沿 $x$ 方向的切片曲线在该点上凹（谷型弯曲）C曲面在该点有极大值D$y$ 方向也一定上凹

5. 既然例题 2 可以“先代入再求导”，链式法则的不可替代价值在于？

A它总能减少计算量B它能求出更精确的导数C中间变量多时更省力；$f$ 只有测量数据没有公式时是唯一选择；且它是方向导数的理论发动机D先代入的做法是错误的

本课小结

• 四个二阶偏导：$f_{xx}, f_{yy}$ 管两个方向的弯曲（凹凸的方向版），$f_{xy}$ 管扭曲；下标从左到右操作
• Clairaut 定理：混合偏导连续则 $f_{xy} = f_{yx}$——挑顺序 + 免费验算，两重红利
• 链式法则：$\dfrac{dz}{dt} = f_x \dfrac{dx}{dt} + f_y \dfrac{dy}{dt}$；画变量树，沿路相乘、路间相加；多参数版同构，数路即可
• 它是全微分的"每秒结算版"；能先代后导时两法互为验算
• 二阶偏导是第 8 课判别式 $D$ 的原料；链式法则是下一课方向导数公式的发动机——两条伏笔已埋好

下一课回答第 4 课遗留的悬案："哪个方向坡最陡？"——方向导数给任意方向量坡度，梯度向量一举指出最陡方向，等高线图上的全部直觉将获得代数引擎。