非齐次方程 —— 骨架加特解，猜出一片天

① 特征方程速查（上一课总表压缩版）：$ar^2 + br + c = 0$；两实根 → $c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x}$，重根 → $(c_1 + c_2 x)e^{rx}$，复根 $\alpha \pm \beta i$ → $e^{\alpha x}(c_1\cos\beta x + c_2\sin\beta x)$。微例：$r^2 - 3r + 2 = 0 \Rightarrow y_h = c_1 e^x + c_2 e^{2x}$——例题 1 开局第一步。⚠️ 翻车点：跳过这一步直接猜特解，后面"失灵检查"就没了参照物。

② 比较系数：两个多项式恒等 $\iff$ 各次项系数分别相等。微例：$-3Ax + (A - 3B) \equiv 6x$ 推出 $A = -2,\ B = -\tfrac{2}{3}$。⚠️ 翻车点：常数项里混着 $A$ 时忘了先代入 $A$ 的值。

③ 乘积求导：$(xe^{kx})' = (1 + kx)e^{kx}$。微例：$(xe^x)' = (1 + x)e^x$、$(xe^x)'' = (2 + x)e^x$——例题 4 原式。⚠️ 翻车点：二阶导时忘了"每求一次导多掉出一个 $k$ 倍项"。

（🔧 工具箱 ①）$r^2 - 3r + 2 = (r-1)(r-2) = 0$，$y_h = c_1 e^x + c_2 e^{2x}$。

右端一次式，猜 $y_p = Ax + B$（常数项 $B$ 不能省）。则 $y_p' = A$，$y_p'' = 0$，代入：

比较系数（🔧 工具箱 ②）：$2A = 4 \Rightarrow A = 2$；$2B - 3A = 0 \Rightarrow B = 3$。故 $y_p = 2x + 3$，通解：

猜 $y_p = Ae^{2x}$，则 $y_p'' = 4Ae^{2x}$，代入：

指数题往往一行完事：代入后每一项都是 $e^{2x}$ 的倍数，除掉即得系数方程。

右端只有 $\cos$，但按表cos、sin 都得带：猜 $y_p = A\cos x + B\sin x$。则 $y_p'' = -A\cos x - B\sin x$，代入：

得 $A = \tfrac{1}{3},\ B = 0$，$y_p = \tfrac{1}{3}\cos x$。这里 $B$ 恰好为零，但那是算出来的，不是省出来的——方程含 $y'$ 时（下一次遇到就会）cos 会把 sin 搅进来，不带 $B$ 直接无解。

猜 $y_p = Ae^x$，代入：$Ae^x - Ae^x = 0 \neq e^x$——左边恒等于零，$A$ 取什么都救不回来。

塌方原因：$e^x$ 是齐次方程 $y'' - y = 0$ 的解（特征根 $r = 1, -1$）！骨架成员被拿去当特解候选，进方程当然被"齐次归零"吞掉。**失灵判据：猜的形状撞上齐次解。**这就是为什么第 1 步永远先跑齐次骨架——不跑就不知道撞没撞。

补丁：把猜想乘一个 $x$，改猜 $y_p = Axe^x$。求导（🔧 工具箱 ③）：$y_p' = A(1 + x)e^x$，$y_p'' = A(2 + x)e^x$，代入：

似曾相识？重根救场用的也是乘 $x$（第 3 课）——同一味药。若乘一次 $x$ 还撞（$r$ 恰是重根、$xe^{rx}$ 也在骨架里），就乘 $x^2$。规则一句话：猜想撞上齐次解，就乘 $x$ 直到不撞为止。

齐次骨架：$r^2 + 1 = 0$，$r = \pm i$，$y_h = c_1\cos x + c_2\sin x$。

拆右端。零件一 $g_1 = x$：猜 $Ax + B$，代入得 $Ax + B \equiv x$（因为 $y_p'' = 0$），$A = 1, B = 0$，$y_{p1} = x$。零件二 $g_2 = 10e^{2x}$：例题 2 刚做过，$y_{p2} = 2e^{2x}$。组装：

流水线定型：骨架 → 拆右端 → 逐项猜（撞骨架就乘 $x$）→ 组装。

骨架：$r^2 - 2r - 3 = (r - 3)(r + 1) = 0$，$y_h = c_1 e^{3x} + c_2 e^{-x}$。

猜 $y_p = Ax + B$：$0 - 2A - 3(Ax + B) = -3Ax + (-2A - 3B) \equiv 9x$，得 $A = -3$，$-2(-3) - 3B = 0 \Rightarrow B = 2$。

先查撞车：齐次解是 $\cos 2x, \sin 2x$（$r = \pm 2i$），$e^{2x}$ 不在其中，直接猜 $Ae^{2x}$：$4A + 4A = 8A \equiv 8$，$A = 1$，$y_p = e^{2x}$。（⚠️ 别把复根 $\pm 2i$ 看成实根 $2$——$e^{2x}$ 和 $e^{2ix}$ 是两个世界的居民。）

齐次骨架：$r = \pm 3i$，$y_h = c_1\cos 3x + c_2\sin 3x$——右端 $\cos 3x$ 正是骨架成员，普通猜想必塌。乘 $x$ 改猜 $y_p = x(A\cos 3x + B\sin 3x)$。

求导代入（过程略繁，结论干净）：$y_p'' + 9y_p = -6A\sin 3x + 6B\cos 3x \equiv \cos 3x$，得 $A = 0,\ B = \tfrac{1}{6}$：

注意体格：幅度随 $x$ 线性放大的振荡——共振的数学素颜照，第 7 课正式介绍它的物理身份。

骨架：$r = \pm 1$，$y_h = c_1 e^x + c_2 e^{-x}$。

零件一 $e^{2x}$（不撞骨架）：$4A - A = 3A \equiv 1$，$y_{p1} = \tfrac{1}{3}e^{2x}$。零件二 $x$：猜 $Ax + B$，$0 - (Ax + B) \equiv x$，$A = -1, B = 0$，$y_{p2} = -x$。