偏积分与二重积分 —— 体积的两刀切法与 Fubini 定理

本课导读

微分的戏份告一段落，S7 收官于积分的升维。主线三步：偏积分——偏导数的逆操作，"冻结一个变量、积分另一个"；二重积分——曲面下方体积的记账法；Fubini 定理——把吓人的二重积分拆成两次普通的单变量积分（先内后外），并且保证两种拆法（先 $x$ 或先 $y$）答案一致。学完你会发现：二重积分没有新的积分技术，全部难度就是"一次只看一个变量"的纪律——和偏导数如出一辙。预计 50 分钟。

🔧 30 秒回顾 · 本课要用的旧手艺（熟练可跳过）

① 定积分代限：$\displaystyle\int_0^2 x\,dx = \left[\tfrac{x^2}{2}\right]_0^2 = 2$；$\displaystyle\int_1^3 y^2\,dy = \left[\tfrac{y^3}{3}\right]_1^3 = \tfrac{26}{3}$——例题 3 原式。⚠️ 翻车点：上下限代反（结果差个负号）。

② 指数原函数：$\displaystyle\int e^{ky}\,dy = \tfrac{1}{k}e^{ky} + C$。微例：$\displaystyle\int_0^1 (e^y - 1)\,dy = (e - 1) - 1 = e - 2$——例题 4 收尾原式。⚠️ 翻车点：$\tfrac{1}{k}$ 忘除。

③ 常数因子外提：$\displaystyle\int c\,g(x)\,dx = c\int g(x)\,dx$。微例：偏积分里被冻结的变量整体享受此待遇——$\displaystyle\int x^2 y\,dx = y \cdot \tfrac{x^3}{3} + C$。⚠️ 翻车点：把含活变量的因子误当常数提出去。

偏积分：偏导数的逆操作

偏导数"冻结一个、求导另一个"；偏积分（partial integration）反着来："冻结一个、积分另一个"。对 $x$ 偏积分时，$y$ 全程当常数（🔧 工具箱 ③）：

$$\int 6x y^2\,dx = y^2 \int 6x\,dx = 3x^2 y^2 + g(y)$$

注意结尾的 $g(y)$：一维积分常数 $+C$ 在这里升级为任意关于 $y$ 的函数——因为对 $x$ 求偏导时，任何纯 $y$ 的项都会被抹成零（第 4 课"孤立常数项归零"的逆命题）。验算：$\frac{\partial}{\partial x}\left[3x^2y^2 + g(y)\right] = 6xy^2$ ✅。

不过本课的主战场是定积分——上下限一代，$g(y)$ 根本不会出场，只需记住纪律：积谁的分，就只看谁；另一个变量随行当常数。

二重积分：曲面下的体积

一维定积分 $\int_a^b f(x)\,dx$ 是"曲线下面积"：底边切成小段，竖起小矩形，加总取极限。升维照抄：曲面 $z = f(x, y)$ 盖在矩形区域

$$R = [a, b] \times [c, d] = \{(x, y) : a \leq x \leq b,\; c \leq y \leq d\}$$

上方，问曲面与底面之间的体积。把 $R$ 切成小方格，每格竖起一根高 $f$ 的方柱，加总取极限，记作：

$$\iint_R f(x, y)\,dA$$

$dA$ 读"面积微元"（$= dx\,dy$ 的意象）。与一维同款的细则：$f$ 取负值处体积记负账（符号体积）；$f \equiv 1$ 时积分值恰为 $R$ 的面积。

定义漂亮，但没人真拿方柱求和算数——需要一台计算引擎：

Fubini 定理：两刀拆成两次单积分

切面包直觉：把体积沿 $x$ 方向切成薄片。固定一个 $x$，薄片的截面积是"沿 $y$ 方向的曲线下面积"——一个单变量积分 $A(x) = \int_c^d f(x, y)\,dy$；再把所有薄片的"截面积 × 厚度"加总——又一个单变量积分 $\int_a^b A(x)\,dx$。体积就这样被两次单积分吃掉了。

Fubini 定理：若 $f$ 在矩形 $R = [a,b] \times [c,d]$ 上连续，则

$$\iint_R f\,dA \;=\; \int_a^b\!\!\left(\int_c^d f(x,y)\,dy\right)dx \;=\; \int_c^d\!\!\left(\int_a^b f(x,y)\,dx\right)dy$$

右边叫累次积分（iterated integral）：从里往外算，内层积分时外层变量当常数（偏积分纪律）。定理说了两件事：① 二重积分 = 累次积分（体积可以切片算）；② 两种切法（先 $y$ 或先 $x$）答案相同——沿哪个方向切面包，总量当然一样。

例题 1 · 第一次完整计算

计算 $\displaystyle\iint_R (x + y^2)\,dA$，其中 $R = [0, 1] \times [0, 2]$。

第 1 步 · 先 x 后 y

内层对 $x$（$y$ 当常数）：

$$\int_0^1 (x + y^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} + y^2 x\right]_{x=0}^{x=1} = \frac{1}{2} + y^2$$

外层对 $y$：

$$\int_0^2 \left(\frac{1}{2} + y^2\right) dy = \left[\frac{y}{2} + \frac{y^3}{3}\right]_0^2 = 1 + \frac{8}{3} = \frac{11}{3}$$

第 2 步 · 换序验证 Fubini

内层对 $y$（$x$ 当常数）：

$$\int_0^2 (x + y^2)\,dy = \left[xy + \frac{y^3}{3}\right]_{y=0}^{y=2} = 2x + \frac{8}{3}$$

外层对 $x$：

$$\int_0^1 \left(2x + \frac{8}{3}\right) dx = 1 + \frac{8}{3} = \frac{11}{3}$$

两序一致 ✅，Fubini 现场兑现。注意换序时上下限跟着变量走（$x$ 永远在 $[0,1]$、$y$ 永远在 $[0,2]$），不是原地互换数字。

例题 2 · 可分离的快车道

计算 $\displaystyle\iint_R xy^2\,dA$，$R = [0, 2] \times [1, 3]$。

✅ 解法展开

被积函数是 $x$ 的函数与 $y$ 的函数之积（$f = g(x)h(y)$），且区域是矩形——积分直接裂变为两个单积分的乘积：

$$\iint_R xy^2\,dA = \left(\int_0^2 x\,dx\right)\left(\int_1^3 y^2\,dy\right) = 2 \times \frac{26}{3} = \frac{52}{3}$$

（🔧 工具箱 ①。道理：内层积分时 $h(y)$ 是常数被外提，剩下的 $\int g\,dx$ 又是常数再被外提。）快车道的两个前提缺一不可：乘积形式 + 矩形区域。$f = x + y^2$（例题 1）是"和"不是"积"，不许上车。

例题 3 · Fubini 当作救援工具

计算 $\displaystyle\iint_R y\,e^{xy}\,dA$，$R = [0, 1] \times [0, 1]$。

✅ 解法展开

先积 $y$？$\int_0^1 y e^{xy}\,dy$ 要分部积分——能做但费劲。先积 $x$（$y$ 当常数，$y e^{xy}$ 对 $x$ 的原函数就是 $e^{xy}$）：

$$\int_0^1 y\,e^{xy}\,dx = \left[e^{xy}\right]_{x=0}^{x=1} = e^{y} - 1$$

外层（🔧 工具箱 ②）：

$$\int_0^1 \left(e^y - 1\right) dy = (e - 1) - 1 = e - 2$$

Fubini 的实战价值不只是"验算"：两条路难度可以天差地别，聪明的换序能把分部积分整个绕开。选序侦察一眼：被积函数对哪个变量的原函数好找，就先积谁。

✍️ 练习

练习 1 · 基本功

计算 $\displaystyle\iint_R (2x + 3y^2)\,dA$，$R = [0, 1] \times [0, 1]$。

✅ 参考答案

内层对 $x$：$\int_0^1 (2x + 3y^2)\,dx = 1 + 3y^2$。外层：$\int_0^1 (1 + 3y^2)\,dy = 1 + 1 = 2$。

（换序自检：内层对 $y$ 得 $2x + 1$，外层得 $1 + 1 = 2$ ✅。）

练习 2 · 快车道识别

下列哪个能走"裂变为乘积"的快车道？都算出来：(a) $\displaystyle\iint_{[0,2]\times[0,1]} x e^y\,dA$　(b) $\displaystyle\iint_{[0,2]\times[0,1]} (x + e^y)\,dA$

✅ 参考答案

(a) 乘积形式，上车：$\left(\int_0^2 x\,dx\right)\left(\int_0^1 e^y\,dy\right) = 2(e - 1)$。

(b) 和的形式，老实累次：内层对 $x$：$\int_0^2 (x + e^y)dx = 2 + 2e^y$；外层：$\int_0^1 (2 + 2e^y)dy = 2 + 2(e-1) = 2e$。

（(b) 也可用积分的线性拆成两个二重积分再各走快车道：$\iint x\,dA + \iint e^y\,dA = 2 \cdot 1 + 2(e-1) = 2e$ ✅——"和"可以拆项，但不能整体裂变。）

练习 3 · 换序救援

计算 $\displaystyle\iint_R \frac{x}{1 + y}\,dA$，$R = [0, 1] \times [0, 1]$。（提示：S0 复健过 $\int \frac{dy}{1+y}$。）

✅ 参考答案

乘积形式（$x$ 乘 $\tfrac{1}{1+y}$），裂变：

$$\left(\int_0^1 x\,dx\right)\left(\int_0^1 \frac{dy}{1 + y}\right) = \frac{1}{2} \times \left[\ln(1+y)\right]_0^1 = \frac{\ln 2}{2}$$

S0 的对数手艺在积分里回岗：$\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C$。

练习 4 · 几何自检

不动笔积分，说出 $\displaystyle\iint_{[0,3]\times[0,2]} 5\,dA$ 的值，并解释。

✅ 参考答案

$30$。常数 5 的曲面是高度 5 的水平天花板，体积 = 底面积 × 高 = $(3 \times 2) \times 5 = 30$。二重积分的几何身份（体积）随时可以当免费验算器——算出负数或数量级离谱时先回这里对表。

📝 随堂测验

随堂测验0 / 5 题正确

1. 对 $x$ 偏积分时，不定积分的“常数”应写成？

A普通常数 $C$B任意关于 $y$ 的函数 $g(y)$——因为对 $x$ 求偏导时纯 $y$ 项整个被抹零C零D任意关于 $x$ 的函数

2. $\iint_R f\,dA$ 的几何意义（$f \geq 0$ 时）是？

A曲面的表面积B区域 $R$ 的周长C曲面 $z = f(x,y)$ 与底面之间、竖立在 $R$ 上方的体积D曲面的最大高度

3. Fubini 定理的内容是？

A二重积分等于两个偏导数之积B只有可分离函数才能积分C累次积分必须先积 $x$D矩形上的连续函数：二重积分 = 累次积分，且先 $x$ 与先 $y$ 两种顺序结果相同

4. $\iint_R g(x)h(y)\,dA$ 在矩形 $R$ 上可以裂变为 $\left(\int g\,dx\right)\left(\int h\,dy\right)$ 的前提是？

A被积函数是乘积形式且区域是矩形——缺一不可B任何函数任何区域都可以C只要函数连续即可D只要区域是矩形，$x + y$ 型也可以裂变

5. 计算 $\int_0^1\!\int_0^2 f\,dy\,dx$ 时，正确的读法是？

A先对 $x$ 从 0 到 2 积分B内层 $\int_0^2$ 配 $dy$（先对 $y$ 从 0 到 2），外层 $\int_0^1$ 配 $dx$——看微元认变量，从里往外C上下限可以随意分配给 $x$ 或 $y$D两个积分同时进行

本课小结

• 偏积分：冻结纪律的积分版——积谁看谁，另一变量当常数；不定偏积分的"常数"是整个 $g(y)$
• 二重积分 $\iint_R f\,dA$：矩形上方曲面下的符号体积；$f \equiv 1$ 退化为面积（免费验算器）
• Fubini 定理（矩形 + 连续）：二重积分 = 累次积分，从里往外、看微元认变量；两种顺序等值——且难度可以天差地别，先侦察再选序
• 快车道：$f = g(x)h(y)$ 且矩形 ⟹ 裂变为两个单积分之积；"和"只能先拆项
• 没有新积分技术——单变量的原函数手艺 + 冻结纪律，就是全部

S7 正课到此收官：从"二元函数长什么样"一路走到"曲面下的体积怎么算"。下一课单元测验，把偏导、切平面、梯度、极值、二重积分串成一场综合演练。