多项式除法与部分分式 —— 大分数拆成小积木

本课导读

面对 $\displaystyle\int\frac{3x^2+x+8}{x(x^2+4)}\,dx$ 这样的有理函数积分，正确的第一反应不是抄家伙硬打，而是拆弹：把复杂分式拆成一堆简单积木，每块积木都是前四课秒杀的对象。

本课是纯代数课，积分号全程休息。两件手艺：多项式长除法（把"假分式"变"真分式"）和部分分式分解（把真分式拆成积木）。手艺练好，下一课的总装流水线才能全速运转。预计 45 分钟。

🔧 30 秒回顾 · 本课要用的旧手艺（熟练可跳过）

① 十字相乘 + 判别式罗盘（第 4 课）：$x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$；$\Delta = b^2 - 4ac < 0$ 则实数范围不可约（拆不动，到站）。微例：$x^2 + 4$（$\Delta = -16$）不可约——例题 4 的分母零件。⚠️ 翻车点：把 $x^2+4$ 硬拆成 $(x+2)(x-2)$——那是 $x^2-4$。

② 系数对齐原理：两个多项式对所有 $x$ 相等 ⟺ 各次项系数逐一相等。微例：$Ax^2+Bx+C \equiv 2x^2+3x+8$ 直接读出 $A=2,\ B=3,\ C=8$。⚠️ 翻车点：漏掉系数为 0 的项——右边没有 $x$ 项时，左边 $x$ 的系数要等于 0，这也是一条方程。

③ 小学竖式除法：$437 \div 12 = 36$ 余 $5$，即 $437 = 12\times 36 + 5$。微例：多项式除法一模一样，只是"数位"换成"次数"。⚠️ 翻车点：被除式缺项要补 0 占位（$x^3+1$ 要写成 $x^3 + 0x^2 + 0x + 1$）。

真分式、假分式：先验明正身

有理函数 = $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$（两个多项式相除）。术语和小学分数完全平行：

• 真分式：分子次数 小于 分母次数，如 $\dfrac{x+1}{x^2+1}$——可以直接拆
• 假分式：分子次数 大于等于 分母次数，如 $\dfrac{x^3+1}{x^2+1}$——必须先做除法

小学的 $\frac{7}{3}$ 要写成 $2\frac{1}{3}$ 才好用；多项式的假分式同理：除法把它变成「多项式 + 真分式」，多项式部分积分白送，剩下的真分式再拆。

多项式长除法

热身（除式是一次式）：$\dfrac{x^2+3x+5}{x+1}$。

             x  +  2
        ┌──────────────────
 x + 1  │  x² + 3x + 5
           x² +  x            ← x·(x+1)
           ──────────
                2x + 5
                2x + 2        ← 2·(x+1)
                ──────
                     3        ← 余式，次数 < 除式，收工

流程和小学竖式一字不差：用被除式最高次项除以除式最高次项得到商的下一项，乘回去、相减、落位，直到余式次数低于除式。结论：

$$\frac{x^2+3x+5}{x+1} = x + 2 + \frac{3}{x+1}$$

例题 1（除式是二次式）：化简 $\dfrac{2x^3 - x^2 + 3x + 1}{x^2+1}$。

              2x  −  1
         ┌────────────────────────
 x² + 1  │  2x³ −  x² + 3x + 1
            2x³       + 2x        ← 2x·(x²+1)
            ──────────────
                 − x² +  x + 1
                 − x²      − 1    ← (−1)·(x²+1)
                 ─────────────
                        x + 2     ← 余式，一次 < 二次，收工

$$\frac{2x^3-x^2+3x+1}{x^2+1} = 2x - 1 + \frac{x+2}{x^2+1}$$

分母拆到底：因式分解的"到站"标准

部分分式的前提是把分母彻底因式分解。多远算彻底？代数基本定理的实数版本给了保证：

任何实系数多项式都能拆成一次因子和不可约二次因子（$\Delta < 0$）的乘积。

所以"到站"标准：每个零件要么是 $(x-a)$ 这样的一次式，要么是 $\Delta < 0$ 的二次式（🔧 工具箱 ①，判别式当罗盘）。两个例子：

$$x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1) \qquad \text{右零件 } \Delta = 1-4 < 0\text{，到站}$$ $$x^4 - 1 = (x^2-1)(x^2+1) = (x-1)(x+1)(x^2+1) \qquad \text{到站}$$

拆分模板：给每个零件安排"待定分子"

分母拆完后，按零件类型放模板：

分母零件	模板	说明
单个一次因子 $(x-a)$	$\dfrac{A}{x-a}$	分子放常数
重复一次因子 $(x-a)^k$	$\dfrac{A_1}{x-a} + \dfrac{A_2}{(x-a)^2} + \cdots + \dfrac{A_k}{(x-a)^k}$	从 1 次幂到 k 次幂逐层放，一层不能少
不可约二次因子 $x^2+px+q$	$\dfrac{Bx+C}{x^2+px+q}$	分子放一次式
重复二次因子 $(x^2+px+q)^k$	逐层放 $\dfrac{B_ix+C_i}{(x^2+px+q)^i}$	本课只认脸，不练

规律一句话：分子的次数永远比分母零件低一级——一次零件配常数，二次零件配一次式。

定系数三板斧

模板摆好后，系数怎么求？三板斧按速度排序：

第一斧 · 代根法（最快）：两边乘掉整个分母，然后把分母的根挨个代入——每代一个根，其他项集体清零。

第二斧 · 遮盖法（cover-up，代根法的心算版）：求单重一次因子 $(x-a)$ 的系数时，用手指盖住原分式里的 $(x-a)$，剩下的部分代 $x=a$，读数就是答案。

第三斧 · 系数对齐法（保底，🔧 工具箱 ②）：展开两边、同次项系数逐一相等，解线性方程组。慢但无死角，重根和二次因子的"剩余系数"靠它扫尾。

例题 2（相异一次因子 + 遮盖法）：拆 $\dfrac{5x-4}{(x-2)(x+1)}$。

模板：$\dfrac{A}{x-2} + \dfrac{B}{x+1}$。

• 求 $A$：盖住 $(x-2)$，代 $x=2$：$A = \dfrac{5(2)-4}{2+1} = 2$
• 求 $B$：盖住 $(x+1)$，代 $x=-1$：$B = \dfrac{5(-1)-4}{-1-2} = 3$

$$\frac{5x-4}{(x-2)(x+1)} = \frac{2}{x-2} + \frac{3}{x+1}$$

验算（通分回去）：$2(x+1) + 3(x-2) = 5x - 4$ ✓

例题 3（重根）：拆 $\dfrac{4x}{(x-1)^2(x+1)}$。

模板（重根逐层放）：$\dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{(x-1)^2} + \dfrac{C}{x+1}$。两边乘 $(x-1)^2(x+1)$：

$$4x = A(x-1)(x+1) + B(x+1) + C(x-1)^2$$

• 代 $x=1$（清掉 $A$、$C$ 项）：$4 = 2B \Rightarrow B = 2$
• 代 $x=-1$：$-4 = 4C \Rightarrow C = -1$
• $A$ 没有专属根可代——第三斧扫尾：比较两边 $x^2$ 系数，$0 = A + C \Rightarrow A = 1$

$$\frac{4x}{(x-1)^2(x+1)} = \frac{1}{x-1} + \frac{2}{(x-1)^2} - \frac{1}{x+1}$$

例题 4（不可约二次因子）：拆 $\dfrac{3x^2+x+8}{x(x^2+4)}$。

模板：$\dfrac{A}{x} + \dfrac{Bx+C}{x^2+4}$（二次零件配一次式分子）。

• 求 $A$：遮盖法，盖住 $x$ 代 $x=0$：$A = \dfrac{8}{4} = 2$
• 求 $B, C$：两边乘 $x(x^2+4)$ 得 $3x^2+x+8 = A(x^2+4) + (Bx+C)x$，比较系数——$x^2$：$3 = A + B \Rightarrow B = 1$；$x^1$：$C = 1$（常数项 $8 = 4A$ 顺便验证了 $A$）

$$\frac{3x^2+x+8}{x(x^2+4)} = \frac{2}{x} + \frac{x+1}{x^2+4}$$

这个成品下一课直接上流水线积分——记住它的脸。

✍️ 练习

1.（长除法）化简 $\dfrac{x^3 - x + 1}{x-1}$

✅ 参考答案

被除式缺 $x^2$ 项，竖式里补 $0x^2$ 占位（🔧 工具箱 ③ 的翻车点）。商 $x^2 + x$，余 $1$：

$$\frac{x^3-x+1}{x-1} = x^2 + x + \frac{1}{x-1}$$

验算：$(x-1)(x^2+x) + 1 = x^3 - x + 1$ ✓

2. 拆 $\dfrac{2x+1}{x(x+1)}$

✅ 参考答案

遮盖法：$A$（盖 $x$，代 0）$= \frac{1}{1} = 1$；$B$（盖 $x+1$，代 $-1$）$= \frac{-1}{-1} = 1$：

$$\frac{2x+1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}$$

3. 拆 $\dfrac{x+1}{x^2(x-1)}$

✅ 参考答案

$x^2$ 是重根（$a = 0$），逐层放：$\dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x^2} + \dfrac{C}{x-1}$。乘回去：

$$x+1 = Ax(x-1) + B(x-1) + Cx^2$$

代 $x=0$：$1 = -B \Rightarrow B = -1$；代 $x=1$：$2 = C$；比 $x^2$ 系数：$0 = A + C \Rightarrow A = -2$：

$$\frac{x+1}{x^2(x-1)} = -\frac{2}{x} - \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x-1}$$

4. 拆 $\dfrac{x^2+2}{x(x^2+1)}$

✅ 参考答案

$x^2+1$ 不可约（$\Delta<0$），配一次式分子：$\dfrac{A}{x} + \dfrac{Bx+C}{x^2+1}$。

遮盖法：$A = \frac{2}{1} = 2$。比较系数：$x^2$ 项 $1 = A + B \Rightarrow B = -1$；$x$ 项 $C = 0$：

$$\frac{x^2+2}{x(x^2+1)} = \frac{2}{x} - \frac{x}{x^2+1}$$

5.（思考题）拆分 $\dfrac{x^2+3}{x^2+1}$ 之前，该先干什么？

✅ 参考答案

分子分母同次——这是假分式，先除法！本题不用竖式，加减凑一下更快：

$$\frac{x^2+3}{x^2+1} = \frac{(x^2+1)+2}{x^2+1} = 1 + \frac{2}{x^2+1}$$

拆完顺便发现根本不需要部分分式——除法本身就把它办完了。（顺带一提：右边那块下一课直接积成 $2\arctan x$。）

📝 随堂测验

随堂测验0 / 5 题正确

1. 下列哪个是真分式？

A$\dfrac{x^3+1}{x^2+1}$B$\dfrac{x^2+1}{x^2-1}$C$\dfrac{x+1}{x^2+1}$D$\dfrac{x^4-1}{x^3+1}$

2. $x^4 - 1$ 在实数范围内的完全因式分解是？

A$(x-1)(x+1)(x^2+1)$B$(x^2-1)(x^2+1)$C$(x-1)^3(x+1)$D$(x^2+1)^2$

3. $\dfrac{3x+1}{(x-1)^2(x+2)}$ 的拆分模板是？

A$\dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+2}$B$\dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{(x-1)^2} + \dfrac{C}{x+2}$C$\dfrac{A}{(x-1)^2} + \dfrac{B}{x+2}$D$\dfrac{Ax+B}{(x-1)^2} + \dfrac{C}{x+2}$

4. 不可约二次因子 $x^2+4$ 头上该放的待定分子是？

A常数 $A$B$Ax^2+Bx+C$C视分子情况而定D一次式 $Bx+C$

5. 遮盖法（cover-up）能直接读出哪类系数？

A单重一次因子对应的常数B重根的全部系数C二次因子头上的 $Bx+C$D所有系数都行

本课小结

• 假分式先除法（分子次数 ≥ 分母，同次也算）：长除法把它变成「多项式 + 真分式」；缺项补 0 占位；验算铁律"被除式 = 除式 × 商 + 余式"
• 分母拆到底的"到站"标准：只剩一次因子和 $\Delta<0$ 的二次因子；$x^2-1$ 型半成品必须继续拆
• 模板规律：分子比分母零件低一级；重根逐层放，少一层必翻车
• 定系数三板斧：代根法最快、遮盖法心算、系数对齐保底扫尾（重根与二次因子专用）
• 全程纯代数、零积分——每一步都能通分验算，别攒错

下一课总装：五节课的兵器全部上线，一条流水线打穿任何有理函数积分——顺便把第 4 课欠的"第三张脸" $u^2 - a^2$ 的账清了。