特征方程 —— 判别式三分天下

本课导读

上一课把任务书压缩成一行："找两个线性无关的解"。本课交付流水线：对常系数齐次方程 $ay'' + by' + cy = 0$，一个指数猜想把微分方程降维成一元二次方程——特征方程。初中学过的判别式 $b^2 - 4ac$ 在这里重获新生：大于零、等于零、小于零，对应三种长相完全不同的解，也预演着第 5、6 课弹簧世界的三种命运。这是全单元技术含量最高的一课，预计 50 分钟。

🔧 30 秒回顾 · 本课要用的旧手艺（熟练可跳过）

① 解一元二次方程：先试十字相乘，不行上求根公式。微例：$r^2 - 3r + 2 = (r-1)(r-2) = 0$，根 $r = 1, 2$——例题 1 原式。⚠️ 翻车点：求根公式里 $-b$ 的负号丢失；$b^2 - 4ac$ 算成 $b^2 + 4ac$。

② 复数最小包：$i^2 = -1$；$\sqrt{-16} = 4i$；复根总是成对出现 $\alpha \pm \beta i$。微例：$r^2 + 2r + 5 = 0$ 的根 $r = \dfrac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = -1 \pm 2i$——例题 3 原式。⚠️ 翻车点：$\beta$ 是虚部系数（不带 $i$），从 $-1 \pm 2i$ 里读出 $\alpha = -1, \beta = 2$。

③ 链式指数求导：$(e^{rx})' = re^{rx}$，$(e^{rx})'' = r^2 e^{rx}$——整课的发动机。微例：$(e^{2x})'' = 4e^{2x}$。⚠️ 翻车点：二阶导只乘了一次 $r$。

指数猜想：一次赌博，赢下整类方程

目标方程（$a, b, c$ 为常数，$a \neq 0$）：

$$a\,y'' + b\,y' + c\,y = 0$$

读一遍方程在要求什么：$y''$、$y'$、$y$ 乘上系数后相加要恰好抵消。什么函数求导后还是"自己的倍数"、有资格参与这种抵消？——指数函数。于是下注猜 $y = e^{rx}$（$r$ 待定），代入（🔧 工具箱 ③）：

$$a r^2 e^{rx} + b r e^{rx} + c\,e^{rx} = e^{rx}\left(a r^2 + b r + c\right) = 0$$

$e^{rx}$ 永不为零，可以整个除掉。于是 $y = e^{rx}$ 是解 $\iff$ $r$ 满足：

$$\boxed{a r^2 + b r + c = 0} \qquad \text{——特征方程（characteristic equation）}$$

一步降维打击：解微分方程变成了解一元二次方程。书写口诀也简单：$y'' \to r^2$、$y' \to r$、$y \to 1$。剩下的事全看判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 的脸色——三种情况，三个世界。

情况一：Δ > 0，两个不同实根

特征方程给出 $r_1 \neq r_2$，直接量产两个解 $e^{r_1 x}$ 和 $e^{r_2 x}$。它们不成倍数（比值 $e^{(r_1 - r_2)x}$ 不是常数），线性无关——基本解组到手，通解：

$$y = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x}$$

例题 1 · 情况一全流程

求 $y'' - 3y' + 2y = 0$ 的通解。

解法展开

特征方程 $r^2 - 3r + 2 = 0$，十字相乘（🔧 工具箱 ①）：$(r - 1)(r - 2) = 0$，$r_1 = 1, r_2 = 2$。通解：

$$y = c_1 e^{x} + c_2 e^{2x}$$

上一课例题 2 从天而降的那对 $\{e^x, e^{2x}\}$，出生地就在这里。整个过程没有一步积分——这就是常系数方程的福利。

情况二：Δ = 0，重根救场

$\Delta = 0$ 时只有一个根 $r = -\dfrac{b}{2a}$，指数猜想只交付一个解 $e^{rx}$——但任务书要两个。第二个从哪来？

答案：$y_2 = x\,e^{rx}$。多乘的这个 $x$ 看起来像变魔术，验证一下它确实是解（这正是上一课练习 1 验过无关性的那对搭档）：

🔍 选看 · 验证 $xe^{rx}$ 是解（以 $y'' + 4y' + 4y = 0$，$r = -2$ 为例）

设 $y = xe^{-2x}$。求导：$y' = (1 - 2x)e^{-2x}$，$y'' = (-4 + 4x)e^{-2x}$。代入：

$$(-4 + 4x)e^{-2x} + 4(1 - 2x)e^{-2x} + 4xe^{-2x} = \left[(-4 + 4) + (4 - 8 + 4)x\right]e^{-2x} = 0$$

恒为零，验证通过 ✅。$x$ 从哪想到的？系统方法叫降阶法（reduction of order）：设 $y_2 = v(x)e^{rx}$ 代入方程反解 $v$，会解出 $v = x$。本课记住结论即可，好奇的话课后可查——关键词 reduction of order。

于是重根情况的通解：

$$y = (c_1 + c_2 x)\,e^{rx}$$

例题 2 · 情况二全流程

求 $y'' + 4y' + 4y = 0$ 的通解。

解法展开

特征方程 $r^2 + 4r + 4 = (r + 2)^2 = 0$，重根 $r = -2$。通解：

$$y = (c_1 + c_2 x)\,e^{-2x}$$

⚠️ 头号事故：写成 $c_1 e^{-2x} + c_2 e^{-2x}$——两项焊死成一项（上一课练习 2 的"影子解"翻车现场），必须靠 $x$ 把第二项撑开。

情况三：Δ < 0，复根与欧拉公式

$\Delta < 0$ 时求根公式照跑不误，只是根钻进了复数域：$r = \alpha \pm \beta i$，其中 $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$，$\beta = \dfrac{\sqrt{4ac - b^2}}{2a} > 0$。

形式上解是 $e^{(\alpha + \beta i)x}$——可 $e$ 的"虚数次方"是什么意思？桥梁是数学里最著名的公式之一，欧拉公式：

$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$

（本课把它当作身份证收下不证；一个快速的可信度检查：对右边求导得 $-\sin\theta + i\cos\theta = i(\cos\theta + i\sin\theta)$，恰好符合"$e^{kt}$ 求导乘 $k$"的规矩，$k = i$。）借它拆开：

$$e^{(\alpha + \beta i)x} = e^{\alpha x} \cdot e^{i\beta x} = e^{\alpha x}\left(\cos\beta x + i\sin\beta x\right)$$

我们要的是实函数解。好在实部和虚部各自都是解（把复数解代入实系数方程，实部虚部必须分别为零——叠加原理的复数版），拆出一对实的基本解组 $\{e^{\alpha x}\cos\beta x,\ e^{\alpha x}\sin\beta x\}$，通解：

$$y = e^{\alpha x}\left(c_1 \cos\beta x + c_2 \sin\beta x\right)$$

读一遍这个式子的体格：$e^{\alpha x}$ 是幅度外壳（$\alpha < 0$ 衰减、$\alpha > 0$ 增长、$\alpha = 0$ 恒定），$\cos\beta x, \sin\beta x$ 是振荡内芯，$\beta$ 越大晃得越快。复根 = 振荡，这句话是第 5 课弹簧世界的通行证。

例题 3 · 情况三全流程

求 $y'' + 2y' + 5y = 0$ 的通解。

解法展开

特征方程 $r^2 + 2r + 5 = 0$，$\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$（🔧 工具箱 ②）：

$$r = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = -1 \pm 2i \quad\Rightarrow\quad \alpha = -1,\ \beta = 2$$

通解：

$$y = e^{-x}\left(c_1 \cos 2x + c_2 \sin 2x\right)$$

画面：以 $e^{-x}$ 为衰减外壳、每 $\pi$ 时间晃一圈的减幅振荡——第 5 课它有个物理名字：欠阻尼。

例题 4 · 情况三 + 初值（全单元最典型的综合题型）

解初值问题：$y'' + 2y' + 5y = 0$，$y(0) = 1$，$y'(0) = 3$。

第 1 步 · 通解与第一个常数

通解取例题 3：$y = e^{-x}(A\cos 2x + B\sin 2x)$。代 $y(0) = 1$：$e^0(A + 0) = A = 1$。

第 2 步 · 求导定第二个常数

乘积法则求导后按 $\cos/\sin$ 归堆：

$$y' = e^{-x}\left[(-A + 2B)\cos 2x + (-B - 2A)\sin 2x\right]$$

代 $y'(0) = 3$：$-A + 2B = 3$，由 $A = 1$ 得 $B = 2$。特解：

$$y = e^{-x}\left(\cos 2x + 2\sin 2x\right)$$

⚠️ 常见事故：求导时只处理三角部分、忘了外壳 $e^{-x}$ 也要参与乘积法则——$y'(0)$ 里的 $-A$ 项就此丢失。

三分天下 · 一页总表

判别式	特征根	基本解组	通解	画面
$\Delta > 0$	两个实根 $r_1 \neq r_2$	$e^{r_1 x},\ e^{r_2 x}$	$c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x}$	纯指数进/退场
$\Delta = 0$	重根 $r$	$e^{rx},\ x e^{rx}$	$(c_1 + c_2 x)e^{rx}$	指数 + 线性扶正
$\Delta < 0$	复根 $\alpha \pm \beta i$	$e^{\alpha x}\cos\beta x,\ e^{\alpha x}\sin\beta x$	$e^{\alpha x}(c_1\cos\beta x + c_2\sin\beta x)$	指数外壳 × 振荡内芯

✍️ 练习

练习 1 · 三种情况各来一发

求通解：(a) $y'' - y' - 6y = 0$　(b) $y'' - 6y' + 9y = 0$　(c) $y'' + 9y = 0$

✅ 参考答案

(a) $r^2 - r - 6 = (r - 3)(r + 2) = 0$，$r = 3, -2$：$y = c_1 e^{3x} + c_2 e^{-2x}$。

(b) $r^2 - 6r + 9 = (r - 3)^2 = 0$，重根 $r = 3$：$y = (c_1 + c_2 x)e^{3x}$。

(c) $r^2 + 9 = 0$，$r = \pm 3i$（$\alpha = 0, \beta = 3$）：$y = c_1 \cos 3x + c_2 \sin 3x$——外壳 $e^{0 \cdot x} = 1$，纯振荡不衰减。第 5 课的无阻尼弹簧就长这样。

练习 2 · 综合初值题

解初值问题：$y'' + 4y' + 5y = 0$，$y(0) = 1$，$y'(0) = 0$。

✅ 参考答案

$r^2 + 4r + 5 = 0$，$\Delta = 16 - 20 = -4$，$r = -2 \pm i$。通解 $y = e^{-2x}(A\cos x + B\sin x)$。

$y(0) = A = 1$。求导归堆：$y' = e^{-2x}[(-2A + B)\cos x + (-2B - A)\sin x]$，$y'(0) = -2A + B = 0 \Rightarrow B = 2$。

$$y = e^{-2x}\left(\cos x + 2\sin x\right)$$

练习 3 · 反向工程

写出一个二阶常系数齐次方程，使其通解为 $y = (c_1 + c_2 x)e^{5x}$。

✅ 参考答案

通解形状指认重根 $r = 5$，特征方程 $(r - 5)^2 = r^2 - 10r + 25 = 0$，对应方程：

$$y'' - 10y' + 25y = 0$$

正向是"方程 → 根 → 解"，反向就把流水线倒着开——考试里两个方向都常考。

📝 随堂测验

随堂测验0 / 6 题正确

1. 指数猜想 $y = e^{rx}$ 之所以能把微分方程降成代数方程，关键性质是？

A指数函数求导后仍是自身的倍数，代入后 $e^{rx}$ 可整体提出并除掉B指数函数永远为正C指数函数增长最快D任何函数都可以写成指数形式

2. $y'' - 6y' + 9y = 0$ 的通解是？

A$c_1 e^{3x} + c_2 e^{3x}$B$c_1 e^{3x} + c_2 e^{-3x}$C$(c_1 + c_2 x)e^{3x}$D$e^{3x}(c_1 \cos x + c_2 \sin x)$

3. 特征根为 $r = -1 \pm 2i$ 时，通解中的 $\alpha$ 和 $\beta$ 分别是？

A$\alpha = -1,\ \beta = 2i$B$\alpha = -1,\ \beta = 2$C$\alpha = 2,\ \beta = -1$D$\alpha = 1,\ \beta = 2$

4. 欧拉公式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ 在本课扮演的角色是？

A用来证明复根不存在B用来计算判别式C把三角函数变成指数以便求导D把“$e$ 的虚数次方”翻译成实的振荡函数，从复数解中拆出实的基本解组

5. 解的长期行为：$y = e^{\alpha x}(c_1\cos\beta x + c_2\sin\beta x)$ 中，什么决定振荡是衰减、恒定还是放大？

A$\alpha$ 的符号：负则衰减、零则恒定、正则放大B$\beta$ 的大小C$c_1, c_2$ 的符号D判别式的绝对值

6. 例题 4 类初值题中最高发的计算事故是？

A特征方程写错次数B把 $y(0)$ 代入了 $y'$C对 $e^{\alpha x}(A\cos\beta x + B\sin\beta x)$ 求导时漏掉外壳 $e^{\alpha x}$ 的乘积法则贡献，丢掉 $y'(0)$ 里的 $\alpha A$ 项D把 $\beta$ 写成负数

本课小结

• 常系数齐次方程 $ay'' + by' + cy = 0$：猜 $y = e^{rx}$，得特征方程 $ar^2 + br + c = 0$（口诀 $y'' \to r^2, y' \to r, y \to 1$）
• Δ > 0：$y = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x}$；Δ = 0：$y = (c_1 + c_2 x)e^{rx}$，$x$ 负责撑开第二个解；Δ < 0：$y = e^{\alpha x}(c_1\cos\beta x + c_2\sin\beta x)$
• 欧拉公式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ 是复根世界的翻译官；复根 = 振荡，$\alpha$ 管幅度、$\beta$ 管快慢
• 初值题节奏：通解 → 代 $y(0)$ → 乘积法则求导归堆 → 代 $y'(0)$；头号事故是求导漏外壳
• 三种情况 = 第 5、6 课弹簧的三种命运（欠阻尼 / 临界阻尼 / 过阻尼）——名字先剧透，物理下下课见

下一课处理右端不为零的世界：非齐次方程。你会看到齐次通解一秒变身"骨架"，外加一个特解就大功告成——以及一张好用的"猜特解"作弊表。