课程库 › Calculus 2 › S5 · 一阶常微分方程 › 第 4 课

换元法 —— 给陌生方程做整容手术

普通课约 50 分钟

本课导读

手上已有两件兵器：可分离（乘法脸）、积分因子（线性队形）。但世界上还有大量方程两边不靠： $y' = \dfrac{x+y}{x}$ 拆不成乘积也不线性； $y' = y - y^2$ 里的 $y^2$ 直接把线性资格取消。本课的思路不是发明第三件兵器，而是整容——通过换元，把陌生的脸改造成两张熟脸之一。重点学两种最常用的手术方案：齐次型（换 $v = y/x$ ）和伯努利方程（换 $v = y^{1-n}$ ），课末再送一个小巧的第三式。预计 50 分钟。

说明

前置工具箱：链式法则与乘积法则（换元的引擎）；前两课全部内容——换元之后的方程要靠它们收尾； $\displaystyle\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C$ 。

🔧 30 秒回顾 · 本课要用的旧手艺（熟练可跳过）

① 链式法则：对含 $y$ 的复合函数求导，别忘乘 $y'$ 。微例： $v = y^{-2} \Rightarrow v' = -2y^{-3}\,y'$ ——练习 2 原式。⚠️ 翻车点：忘乘 $y'$ ，换元后的方程整个报废。

② 乘积法则： $y = vx \Rightarrow y' = v + xv'$ ——齐次换元的翻译公式。⚠️ 翻车点：漏掉 $v$ 项（本课点名的头号事故）。

③ 收尾流水线速览：可分离三步（分离 → 各自积分 → 整理，第 2 课）；积分因子四步（标准化 → $\mu = e^{\int p\,dx}$ → 折叠 → 积分，第 3 课）。换元不解题，只负责把方程运上这两条线。

手术总纲：换元三步

所有换元法共享同一个节奏：

选新变量 $v$ （由方程的长相决定选哪种，下面给两个主力方案）
翻译方程：用链式/乘积法则把 $y'$ 表示成 $v'$ 的式子，原方程改写成关于 $v$ 的方程——如果选对了，新方程必是可分离或线性
解出 $v$ ，换回 $y$ ：别忘了最后一步，答卷要用原来的变量写

提示

类比记忆：换元像外币兑换——手里的货币（ $y$ ）在本地商店（两件兵器）不能用，先按汇率（换元关系）兑成本地货币（ $v$ ），买完东西（解出 $v$ ），离境前再换回来（代回 $y$ ）。汇率本身不创造价值，但没有它交易无法发生。

方案一：齐次型 —— 右边只认 y/x 的比值

如果方程能写成

\frac{dy}{dx} = F\!\left(\frac{y}{x}\right)

即右边只通过比值 $y/x$ 依赖 $x$ 和 $y$ （把分子分母同除以 $x$ 试试就知道），就令 $v = \dfrac{y}{x}$ 。此时 $y = vx$ ，乘积法则给出翻译公式：

y' = v + x\,v'

代入后原方程变成 $v + xv' = F(v)$ ，即 $x\dfrac{dv}{dx} = F(v) - v$ ——必定可分离（ $v$ 的因子和 $x$ 的因子天然分居两侧）。

例题 1 · 齐次型全流程

求 $y' = \dfrac{x + y}{x}$ （ $x > 0$ ）的通解。

第 1 步 · 认脸 + 换元

分子分母同除 $x$ ： $y' = 1 + \dfrac{y}{x}$ ——右边只通过 $y/x$ 出现，齐次型确认。令 $v = y/x$ ，翻译： $v + xv' = 1 + v$ 。

第 2 步 · 解 v 的方程

两边的 $v$ 相消（这题格外爽快）： $xv' = 1$ ，分离： $dv = \dfrac{dx}{x}$ ，积分：

v = \ln x + C

第 3 步 · 换回 y 并验证

$y = vx$ ：

y = x\ln x + Cx

验证： $y' = \ln x + 1 + C$ ；右边 $\dfrac{x + y}{x} = 1 + \dfrac{y}{x} = 1 + \ln x + C$ ✓。

方案二：伯努利方程 —— 差一个 yⁿ 就线性了

伯努利方程（Bernoulli equation）长这样：

y' + p(x)\,y = q(x)\,y^n \qquad (n \neq 0,\, 1)

左边是标准的线性队形，坏就坏在右边那个 $y^n$ 。手术方案：两边除以 $y^n$ ，再令

v = y^{1-n} \quad\Rightarrow\quad v' = (1-n)\,y^{-n}\,y'

代入后方程必定变成 $v$ 的一阶线性方程，交给积分因子。

例题 2 · 剧透过的主角：y′ = y − y²

求 $y' = y - y^2$ 的通解。（上一课结尾预告过：它是人口 Logistic 方程的雏形。）

第 1 步 · 认出伯努利，除以 y²

移项站队： $y' - y = -y^2$ ——线性队形 + 右边 $y^2$ ，伯努利， $n = 2$ 。两边除以 $y^2$ ：

\frac{y'}{y^2} - \frac{1}{y} = -1

（除了 $y^2$ ，记账：常函数 $y \equiv 0$ 代回原方程成立，是解，通解收编不了它——单列。顺带 $y \equiv 1$ 也是解： $0 = 1 - 1$ ✓，它会被通解收编，见下。）

第 2 步 · 换元成线性，积分因子伺候

令 $v = y^{1-2} = \dfrac{1}{y}$ ，则 $v' = -\dfrac{y'}{y^2}$ （🔧 工具箱 ①：链式法则， $y'$ 别忘乘），即 $\dfrac{y'}{y^2} = -v'$ 。代入：

-v' - v = -1 \quad\Rightarrow\quad v' + v = 1

上一课的送分题： $\mu = e^x$ ， $(e^x v)' = e^x$ ， $e^x v = e^x + C$ ，得 $v = 1 + Ce^{-x}$ 。

第 3 步 · 换回 y，读懂 S 形曲线

$v = 1/y$ ：

y = \frac{1}{1 + Ce^{-x}}

（ $C = 0$ 给出 $y \equiv 1$ ，收编成功； $y \equiv 0$ 仍需单列。）验证： $y' = \dfrac{Ce^{-x}}{(1+Ce^{-x})^2} = Ce^{-x}y^2$ ，而 $y - y^2 = y^2\left(\dfrac{1}{y} - 1\right) = y^2 \cdot Ce^{-x}$ ✓。

读答案（取 $C > 0$ ，比如初值 $y(0)$ 是个小正数）：起步时 $y$ 小、增长慢；中段加速；逼近 1 时又慢下来——一条 S 形曲线。"先慢、再快、又慢"正是流行病传播、新产品普及、细菌繁殖的共同剧本，第 7 课人口模型正式加冕它。

第三式（小巧）：右边只认 x + y 的组合

若方程形如 $y' = f(ax + by + c)$ ——右边只通过一个线性组合依赖 $x, y$ ，就令 $u = ax + by + c$ ，则 $u' = a + by'$ ，代入后必可分离。练习 3 用它抓一只老虎。

✍️ 练习

练习 1 · 齐次型进阶

求 $y' = \dfrac{x^2 + y^2}{xy}$ （ $x > 0$ ）的通解。（提示：分子分母同除 $x^2$ ，右边变成 $\dfrac{1 + v^2}{v}$ 。）

✅ 参考答案

换元后： $v + xv' = \dfrac{1}{v} + v$ ，即 $xv' = \dfrac{1}{v}$ 。分离： $v\,dv = \dfrac{dx}{x}$ ，积分： $\dfrac{v^2}{2} = \ln x + C_1$ 。换回 $v = y/x$ 并记 $C = 2C_1$ ：

y^2 = x^2\,(2\ln x + C)

隐式解完全合法（上上课的观念）。验证：两边求导 $2yy' = 2x(2\ln x + C) + 2x$ ，故 $y' = \dfrac{x(2\ln x + C) + x}{y} = \dfrac{y^2/x + x}{y} = \dfrac{x^2 + y^2}{xy}$ ✓。

练习 2 · 伯努利标准流程

求 $y' + y = y^3$ 的通解。（ $n = 3$ ， $v = y^{-2}$ 。）

✅ 参考答案

除以 $y^3$ ： $\dfrac{y'}{y^3} + \dfrac{1}{y^2} = 1$ 。令 $v = y^{-2}$ ， $v' = -2y^{-3}y'$ ，即 $\dfrac{y'}{y^3} = -\dfrac{v'}{2}$ 。代入： $-\dfrac{v'}{2} + v = 1$ ，整理 $v' - 2v = -2$ 。积分因子 $\mu = e^{-2x}$ ： $(e^{-2x}v)' = -2e^{-2x}$ ，积分 $e^{-2x}v = e^{-2x} + C$ ，得 $v = 1 + Ce^{2x}$ 。换回：

y^2 = \frac{1}{1 + Ce^{2x}}

（ $y \equiv 0$ 单列。）验证取 $y = (1+Ce^{2x})^{-1/2}$ ： $y' = -Ce^{2x}(1+Ce^{2x})^{-3/2} = -Ce^{2x}y^3$ ；而 $y^3 - y = y^3(1 - y^{-2}) = y^3(1 - 1 - Ce^{2x}) = -Ce^{2x}y^3$ ✓。

练习 3 · 第三式抓老虎

解方程 $y' = (x + y)^2$ 。（令 $u = x + y$ ；会用到 $\displaystyle\int \frac{du}{1+u^2} = \arctan u + C$ 。）

✅ 参考答案

$u = x + y$ ， $u' = 1 + y' = 1 + u^2$ ——上一课练习 3 的老熟人！分离积分得 $\arctan u = x + C$ ，即 $u = \tan(x + C)$ ，换回：

y = \tan(x + C) - x

验证： $y' = \sec^2(x+C) - 1 = \tan^2(x+C) = (x+y)^2$ ✓。三步节奏一次没变：换元 → 熟脸 → 换回。

📝 随堂测验

随堂测验0 / 5 题正确

1. 换元法在解一阶 ODE 中的定位是？

2. 判断能否用 $v = y/x$ 换元（齐次型）的标准是？

3. $v = y/x$ 换元时，$y'$ 的正确翻译是？

4. 伯努利方程 $y' + p(x)y = q(x)y^n$ 的手术方案是？

5. 例题 2 的解 $y = \dfrac{1}{1 + Ce^{-x}}$（$C>0$）的图像特征与现实对应是？

本课小结

换元三步：选 $v$ → 翻译方程 → 解出后换回；换元不解题，只负责把题运到熟脸地界
齐次型 $y' = F(y/x)$ ：令 $v = y/x$ ，翻译公式 $y' = v + xv'$ （漏 $v$ 是头号事故），换元后必可分离
伯努利 $y' + py = qy^n$ ：除以 $y^n$ 、令 $v = y^{1-n}$ ，换元后必线性;除法记账（ $y \equiv 0$ 常单列）
第三式 $y' = f(ax+by+c)$ ：令 $u = ax+by+c$ ，必可分离
$y' = y - y^2$ 的解是 S 形曲线——第 7 课 Logistic 模型的完整版预告

讨论

载入中…

本课导读

手术总纲：换元三步

方案一：齐次型 —— 右边只认 y/x 的比值

例题 1 · 齐次型全流程

方案二：伯努利方程 —— 差一个 yⁿ 就线性了

例题 2 · 剧透过的主角：y′ = y − y²

第三式（小巧）：右边只认 x + y 的组合

✍️ 练习

练习 1 · 齐次型进阶

练习 2 · 伯努利标准流程

练习 3 · 第三式抓老虎

📝 随堂测验

本课小结

延伸阅读（可选，跳过不影响主线）

讨论