极限与连续 —— 无穷多条路的会师检查

① 左右极限：$\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ 左边给 $-1$、右边给 $+1$，不一致 ⟹ 极限不存在。微例即本课双路径判别法的一维原型。⚠️ 翻车点：只查了一边就下结论。

② 分式约分：先代入，得 $\frac{0}{0}$ 再动手化简。微例：沿 $y = x$ 代入 $\frac{xy}{x^2 + y^2}$ 得 $\frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}$——例题 2 原式。⚠️ 翻车点：约分时丢掉系数。

③ 夹逼：$0 \leq |g(x)| \leq h(x)$ 且 $h \to 0$，则 $g \to 0$。微例：$\left|\frac{x^2 y}{x^2 + y^2}\right| \leq |y| \to 0$——例题 4 原式。⚠️ 翻车点：夹的是绝对值，结论才对正负都成立。

路径一：沿 $x$ 轴（即 $y = 0$，$x \to 0$）：$f(x, 0) = \dfrac{x^2}{x^2} = 1$，极限 $1$。

路径二：沿 $y$ 轴（$x = 0$）：$f(0, y) = \dfrac{-y^2}{y^2} = -1$，极限 $-1$。

$1 \neq -1$，两路答案打架——极限不存在 ✅。画面：这张曲面在原点附近，沿东西方向高度贴着 1、沿南北方向贴着 $-1$，原点是撕裂点，没有统一的"逼近值"。

沿 $x$ 轴：$f(x, 0) = 0 \to 0$；沿 $y$ 轴：$f(0, y) = 0 \to 0$。两条轴一致，能收工吗？不能——再试一条：

沿对角线 $y = x$（🔧 工具箱 ②）：$f(x, x) = \dfrac{x^2}{2x^2} = \dfrac{1}{2} \to \dfrac{1}{2}$。

$0 \neq \tfrac{1}{2}$——极限不存在 ✅。教训：两条轴只是无穷条路里最好走的两条，它们一致什么也保证不了。顺手多算一步：沿 $y = mx$ 得 $\dfrac{mx^2}{(1 + m^2)x^2} = \dfrac{m}{1 + m^2}$——每条直线一个答案，斜率不同答案不同，是最生动的"取决于来路"。

所有直线 $y = mx$：$f(x, mx) = \dfrac{mx^3}{x^4 + m^2 x^2} = \dfrac{mx}{x^2 + m^2} \to 0$（$m \neq 0$；轴同样给 0）。每一条直线都说极限是 0。

但曲线路径另有说法。沿抛物线 $y = x^2$：

$0 \neq \tfrac{1}{2}$——极限不存在 ✅。这是二维极限最著名的陷阱：直线全票通过 ≠ 极限存在，弯路也有投票权。选路径的小窍门：让分母的两项同阶（这里 $x^4$ 与 $y^2$ 同阶 ⟹ 试 $y \sim x^2$），往往能榨出不同的答案。

由 $x^2 \leq x^2 + y^2$ 得 $\dfrac{x^2}{x^2 + y^2} \leq 1$，于是（🔧 工具箱 ③）：

夹逼成立，极限为 $0$ ✅——这个结论对一切路径成立，不是抽查。对照例题 2（分子 $xy$，不存在）与本题（分子 $x^2 y$，存在为零）：分子多一次幂，"零的力量"压过了分母，命运反转。分子分母的次数对比是快速预判的线索：分子总次数高于分母 ⟹ 倾向存在且为 0；持平或更低 ⟹ 高度可疑，抓紧找双路径。

沿 $x$ 轴：$0$。沿 $y = x$：$\dfrac{2x^2}{6x^2} = \dfrac{1}{3}$。不一致 ⟹ 不存在。（它就是例题 2 换了外衣：分子分母同为二次，可疑名单头号特征。）

分母 $x^2$ 与 $y^4$ 同阶 ⟹ 试 $x = y^2$：$f(y^2, y) = \dfrac{y^2 \cdot y^2}{y^4 + y^4} = \dfrac{1}{2}$。而沿 $x$ 轴（$y = 0$）得 $0$。不一致 ⟹ 不存在。（所有直线 $y = mx$ 都给 0——例题 3 的孪生兄弟，直线全票通过依然翻车。）

分子三次、分母二次——次数占优，倾向存在为 0。夹逼：

（用了 $|x|^3 = |x| \cdot x^2 \leq |x|(x^2 + y^2)$。）极限存在且为 $0$ ✅。

指数与分式的复合，在定义域 $x \neq y$ 上处处连续。$(2, 1)$ 在定义域内，直接代入：$\dfrac{e^2}{1} = e^2$。——不是每道极限题都要摆路径阵，定义域内一律"先代入"。