三角恒等变换 —— 被积函数的易容术

本课导读

有些积分打不动，不是因为技巧不够，而是长相不对。$\int \sin^2 x\,dx$ 查遍积分表都没有现成条目，$u = \sin x$ 换元也会卡死——但用一条恒等式把它改写成 $\int \frac{1 - \cos 2x}{2}\,dx$，瞬间变成小学生难度。

三角恒等变换就是积分台前的易容术：不动积分技巧本身，先给被积函数整容，整成第 1 课的换元法或基本积分表认识的脸。本课把常用恒等式清点成军火库，然后按"幂次奇偶"和"角频率异同"两条线练熟套路。预计 40 分钟。

🔧 30 秒回顾 · 本课要用的旧手艺（熟练可跳过）

① 平方关系全家：$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$；两边除以 $\cos^2 x$ 得 $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$；除以 $\sin^2 x$ 得 $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$。微例：$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$——本课例题 6 的第一步原式。⚠️ 翻车点：$\sec$ 配 $\tan$、$\csc$ 配 $\cot$，交叉配对必翻车。

② 倍角三胞胎：$\sin 2x = 2\sin x\cos x$；$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$。微例：由 $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ 反解出 $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$——本课主武器。⚠️ 翻车点：降幂后的符号——$\sin^2$ 里是减 $\cos 2x$，$\cos^2$ 里是加。

③ 凑微分（第 1 课）：$\cos x\,dx = d(\sin x)$，$\sin x\,dx = -\,d(\cos x)$。微例：例题 3 从 $\sin^3 x$ 拆出的那个 $\sin x\,dx$ 就这样进的 $d$。⚠️ 翻车点：$d(\cos x)$ 前的负号丢失。

军火库：本课要用的恒等式

类别	恒等式	用途
平方关系	$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ 及其两个除法变体	奇数幂拆项、$\tan/\sec$ 互换
倍角	$\sin 2x = 2\sin x\cos x$；$\cos 2x$ 三胞胎	交叉项合并
降幂	$\sin^2 x = \dfrac{1-\cos 2x}{2}$；$\cos^2 x = \dfrac{1+\cos 2x}{2}$	偶数幂的唯一出路
积化和差	$\sin A\cos B = \tfrac{1}{2}[\sin(A{+}B) + \sin(A{-}B)]$	不同角频率相乘
积化和差	$\cos A\cos B = \tfrac{1}{2}[\cos(A{+}B) + \cos(A{-}B)]$	同上
积化和差	$\sin A\sin B = \tfrac{1}{2}[\cos(A{-}B) - \cos(A{+}B)]$	同上

积化和差三条不用死背：都是和角公式 $\sin(A\pm B)$、$\cos(A\pm B)$ 相加减的直接结果，考场忘了现推 30 秒。记忆锚点：乘积变成和，积分才有得做——$\int\sin 3x\cos 5x\,dx$ 没有公式，$\int\sin 8x\,dx$ 有。

偶数次幂：降幂是唯一出路

例题 1：求 $\displaystyle\int \sin^2 x\,dx$。

$u = \sin x$？那 $du = \cos x\,dx$，场上没有 $\cos x$，卡死。正确姿势是降幂（🔧 工具箱 ②）：

$$\int \sin^2 x\,dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$$

（最后一步用了第 1 课速查表的 $dx = \tfrac{1}{2}d(2x)$。）同理 $\displaystyle\int \cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$。

例题 2（双偶数幂）：求 $\displaystyle\int \sin^2 x\cos^2 x\,dx$。

先用倍角合并再降幂，比对两个平方分别降幂省一半力气：

$$\sin^2 x\cos^2 x = (\sin x\cos x)^2 = \left(\frac{\sin 2x}{2}\right)^2 = \frac{\sin^2 2x}{4} = \frac{1 - \cos 4x}{8}$$ $$\int \sin^2 x\cos^2 x\,dx = \frac{x}{8} - \frac{\sin 4x}{32} + C$$

奇数次幂：拆一个去凑微分

幂次里只要有一个是奇数，就从奇数那边拆一个出来陪 $dx$，剩下的偶数次幂用平方关系换成对方阵营，然后换元一波带走。

例题 3：求 $\displaystyle\int \sin^3 x\,dx$。

$$\int \sin^3 x\,dx = \int \sin^2 x\cdot \sin x\,dx = \int (1 - \cos^2 x)\,\sin x\,dx$$

令 $u = \cos x$，$du = -\sin x\,dx$（🔧 工具箱 ③，负号别丢）：

$$= -\int (1 - u^2)\,du = -u + \frac{u^3}{3} + C = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C$$

例题 4（奇偶混合）：求 $\displaystyle\int \sin^3 x\cos^2 x\,dx$。

从奇数方 $\sin^3 x$ 拆一个 $\sin x$：

$$\int \sin^2 x\cos^2 x\,\sin x\,dx = \int (1-\cos^2 x)\cos^2 x\,\sin x\,dx \;\xlongequal{u=\cos x}\; -\int (1-u^2)u^2\,du$$ $$= -\int (u^2 - u^4)\,du = -\frac{u^3}{3} + \frac{u^5}{5} + C = \frac{\cos^5 x}{5} - \frac{\cos^3 x}{3} + C$$

决策表（$\displaystyle\int \sin^m x\cos^n x\,dx$）：

情形	策略
$m$ 奇	拆一个 $\sin x$ 配 $d(\cos x)$，剩余 $\sin^2 = 1-\cos^2$，令 $u = \cos x$
$n$ 奇	拆一个 $\cos x$ 配 $d(\sin x)$，剩余 $\cos^2 = 1-\sin^2$，令 $u = \sin x$
都偶	没有捷径：降幂公式 + 倍角，必要时降两轮

不同角频率相乘：积化和差

例题 5：求 $\displaystyle\int \sin 3x\cos 5x\,dx$。

角频率不同（$3x$ 和 $5x$），拆项换元全部失灵——这是积化和差的专属地盘：

$$\sin 3x\cos 5x = \frac{1}{2}\left[\sin 8x + \sin(-2x)\right] = \frac{1}{2}\sin 8x - \frac{1}{2}\sin 2x$$ $$\int \sin 3x\cos 5x\,dx = -\frac{\cos 8x}{16} + \frac{\cos 2x}{4} + C$$

tan 与 sec 的地盘

例题 6：求 $\displaystyle\int \tan^2 x\,dx$。

积分表里没有 $\tan^2$，但平方关系可以把它换成有的（🔧 工具箱 ①）：

$$\int \tan^2 x\,dx = \int (\sec^2 x - 1)\,dx = \tan x - x + C$$

（$\int\sec^2 x\,dx = \tan x + C$ 就是求导公式 $(\tan x)' = \sec^2 x$ 倒着读。）配上第 1 课收编的 $\int\tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C$，$\tan$ 的一次、二次幂都有了着落。

✍️ 练习

1. $\displaystyle\int \cos^3 x\,dx$

✅ 参考答案

奇数幂：拆一个 $\cos x$，令 $u = \sin x$：

$$\int (1-\sin^2 x)\cos x\,dx = \int (1-u^2)\,du = \sin x - \frac{\sin^3 x}{3} + C$$

2. $\displaystyle\int \sin^2 3x\,dx$

✅ 参考答案

降幂（角是 $3x$，倍角就是 $6x$）：

$$\int \frac{1-\cos 6x}{2}\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 6x}{12} + C$$

3. $\displaystyle\int \cos 2x\cos 4x\,dx$

✅ 参考答案

积化和差：$\cos 2x\cos 4x = \tfrac{1}{2}[\cos 6x + \cos 2x]$（$\cos(-2x) = \cos 2x$）：

$$\frac{1}{2}\left[\frac{\sin 6x}{6} + \frac{\sin 2x}{2}\right] + C = \frac{\sin 6x}{12} + \frac{\sin 2x}{4} + C$$

4. $\displaystyle\int \cot^2 x\,dx$

✅ 参考答案

平方关系的另一半：$\cot^2 x = \csc^2 x - 1$，而 $(\cot x)' = -\csc^2 x$：

$$\int (\csc^2 x - 1)\,dx = -\cot x - x + C$$

5.（进阶）$\displaystyle\int \sin^4 x\,dx$——先规划路线再动手。

✅ 参考答案

全偶，降幂两轮：

$$\sin^4 x = \left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)^2 = \frac{1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x}{4} = \frac{1}{4}\left(\frac{3}{2} - 2\cos 2x + \frac{\cos 4x}{2}\right)$$$$\int \sin^4 x\,dx = \frac{3x}{8} - \frac{\sin 2x}{4} + \frac{\sin 4x}{32} + C$$

要点：平方展开后中间的 $\cos^2 2x$ 还要再降一轮（变成 $\frac{1+\cos 4x}{2}$）。

📝 随堂测验

随堂测验0 / 5 题正确

1. 计算 $\int \cos^2 x\,dx$，第一步最应该做的是？

A令 $u = \cos x$B用降幂公式 $\cos^2 x = \tfrac{1+\cos 2x}{2}$C分部积分D拆一个 $\cos x$ 出来凑微分

2. $\int \sin^5 x\cos^2 x\,dx$ 的正确路线是？

A全部降幂展开B令 $u = \sin x$C积化和差D从 $\sin^5 x$ 拆一个 $\sin x$ 配 $d(\cos x)$，剩下 $\sin^4 x = (1-\cos^2 x)^2$，令 $u = \cos x$

3. $\sin^2 x$ 的降幂公式是？

A$\dfrac{1 - \cos 2x}{2}$B$\dfrac{1 + \cos 2x}{2}$C$1 - \cos 2x$D$\dfrac{1 - \sin 2x}{2}$

4. $\int \sin 2x\sin 6x\,dx$ 该用哪条恒等式打开局面？

A倍角公式B平方关系C积化和差：$\sin A\sin B = \tfrac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$D降幂公式

5. $1 + \tan^2 x = $ ?

A$\csc^2 x$B$\cot^2 x$C$\cos 2x$D$\sec^2 x$

本课小结

• 三角积分的心法：先整容，后动刀——用恒等式把被积函数改写成积分表认识的脸
• $\sin^m x\cos^n x$ 决策：有奇拆奇（拆一个配 $d$，剩余用平方关系换阵营）、全偶降幂（可能要降两轮）
• 降幂公式 $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$、$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$ 是偶数幂的唯一出路；符号记不清就代 $x=0$ 检验
• 角频率不同的乘积（$\sin 3x\cos 5x$）只认积化和差——乘积变成和，积分才有得做
• $\tan^2 = \sec^2 - 1$、$\cot^2 = \csc^2 - 1$：平方关系的除法变体负责 $\tan/\sec$ 阵营

下一课回到主线兵器库：换元法对付"复合结构"，但 $\int x e^x dx$ 这种两个不相干函数的乘积它无从下口——该请出乘积法则的倒放：分部积分。