二元函数与曲面 —— 从一条曲线到一张地形

本课导读

欢迎来到 S7。此前的微积分世界里，函数只吃一个数：$f(x)$。但现实的量几乎都由多个因素决定——气温取决于经度和纬度、利润取决于价格和产量、山的海拔取决于你站在地图上的哪个点。本课把函数升级成两个输入、一个输出：$z = f(x, y)$，并认识它的图像——不再是曲线，而是三维空间里的一张曲面。作为第一批住户，我们先请入最简单的曲面：平面。它看似平淡，却是整个单元的钥匙——后面第 5 课的切平面、线性近似全靠它。预计 40 分钟。

🔧 30 秒回顾 · 本课要用的旧手艺（熟练可跳过）

① 定义域三件套：分母 $\neq 0$；$\sqrt{\phantom{x}}$ 内 $\geq 0$；$\ln$ 真数 $> 0$。微例：$f(x) = \sqrt{1 - x^2}$ 定义域 $[-1, 1]$——例题 1 是它的二维版。⚠️ 翻车点：根号条件写成 $> 0$（丢了取等）。

② 斜率读法：$y = kx + b$ 中 $k$ = "$x$ 每走 1，$y$ 变多少"。微例：$y = 2x + 1$ 沿 $x$ 方向每步涨 2。⚠️ 翻车点：把截距 $b$ 当成斜率。

③ 代值基本功：$f(x) = x^2 - 3x$，$f(2) = -2$。二元版只是多代一个数。⚠️ 翻车点：两个输入代反了位置——$f(1, 2)$ 和 $f(2, 1)$ 通常不是一回事。

两个输入，一个输出

定义：二元函数 $f$ 把平面上的点 $(x, y)$ 映到一个实数 $z = f(x, y)$。

先动手代几个值找感觉。设 $f(x, y) = x^2 y + 3y$：

$$f(2, 1) = 4 + 3 = 7, \qquad f(1, 2) = 2 + 6 = 8, \qquad f(0, 5) = 15$$

注意 $f(2,1) \neq f(1,2)$——两个输入各司其职，顺序有意义（🔧 工具箱 ③ 的翻车点）。生活对照：外卖利润 = f(单价, 单量)、体感温度 = f(气温, 湿度)、山的海拔 = f(东西坐标, 南北坐标)——最后这个"地形"比喻会陪我们走完整个单元。

定义域升级：从数轴上的区间，变成 $xy$ 平面上的区域。判定规则原封不动是单变量三件套（🔧 工具箱 ①），只是解出来的不再是区间而是一块平面图形。

例题 1 · 定义域三连

求下列函数的定义域并描述其形状：(a) $f(x,y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$　(b) $g(x,y) = \ln(y - x^2)$　(c) $h(x,y) = \dfrac{x}{x - y}$

✅ 解法展开

(a) 根号内非负：$x^2 + y^2 \leq 1$——以原点为心、半径 1 的圆盘（含边界圆）。这张曲面其实是单位球的上半球。

(b) 真数为正：$y > x^2$——抛物线 $y = x^2$ 上方的开区域（不含抛物线本身，S0 复健过的对数定义域规矩）。

(c) 分母非零：$x \neq y$——整个平面挖掉直线 $y = x$。

一维时定义域是"线段"，二维时是"图形"——这就是升维的第一个体感。

图像：从曲线到曲面

单变量函数的图像是平面里的曲线：每个 $x$ 上方竖一根高度 $f(x)$ 的杆。二元函数依样画葫芦：在平面的每个点 $(x, y)$ 上方竖一根高度 $f(x, y)$ 的杆，杆顶连成一片——三维空间中的曲面（surface）。

两个必认的地标：

• 抛物面 $z = x^2 + y^2$：碗状。原点处 $z = 0$ 最低，向四周越走越高；离原点距离 $r$ 处高度 $r^2$——"碗壁"越来越陡
• 马鞍面 $z = x^2 - y^2$：沿 $x$ 方向上凸、沿 $y$ 方向下凹，长得像薯片/马鞍。它在原点附近"说不清是高是低"——第 8 课的鞍点由此得名

看不见三维图不要紧：下一课的等高线就是专治"三维靠想象"的降维工具。本课先建立"图像 = 曲面"这个画面即可。

平面：最简单的曲面

单变量世界里最简单的图像是直线 $y = kx + b$；二元世界里对应的是平面：

$$z = ax + by + c$$

三个系数各管一件事，读法完全承袭直线（🔧 工具箱 ②）：

• $a$：沿 $x$ 方向的斜率——$y$ 不动、$x$ 走 1，$z$ 变 $a$
• $b$：沿 $y$ 方向的斜率——$x$ 不动、$y$ 走 1，$z$ 变 $b$
• $c$：高度截距——$f(0, 0) = c$

平面还有一个一般式 $Ax + By + Cz = D$（例如 $2x + 3y - z = 5$）。$C \neq 0$ 时两种形式可互相改写：解出 $z$ 即可；$C = 0$ 时平面竖直站立（如 $x + y = 1$），不是任何 $z = f(x, y)$ 的图像——函数曲面必须通过"竖直线测试"的三维版：每个 $(x, y)$ 上方只能有一个 $z$。

例题 2 · 三点定一面

求过点 $(0, 0, 1)$、$(1, 0, 3)$、$(0, 1, 2)$ 的平面方程（写成 $z = ax + by + c$ 形式）。

✅ 解法展开

三个未知数 $a, b, c$，三个点各给一个方程：

• $(0,0,1)$：$c = 1$
• $(1,0,3)$：$a + c = 3 \Rightarrow a = 2$
• $(0,1,2)$：$b + c = 2 \Rightarrow b = 1$

$$z = 2x + y + 1$$

验算：三点依次代入 $1, 3, 2$ ✅。读物理：这张平面沿 $x$ 方向每步涨 2、沿 $y$ 方向每步涨 1、基准高度 1。

✍️ 练习

练习 1 · 代值与读义

设 $f(x, y) = \dfrac{2x + y}{x - y}$。求 $f(3, 1)$ 和 $f(1, 3)$；这个函数的定义域是什么？

✅ 参考答案

$f(3, 1) = \dfrac{7}{2}$；$f(1, 3) = \dfrac{5}{-2} = -\dfrac{5}{2}$——再次确认输入顺序有意义。定义域：$x \neq y$，即平面挖掉直线 $y = x$。

练习 2 · 定义域素描

求 $f(x, y) = \sqrt{y} + \ln(4 - x^2 - y^2)$ 的定义域，并用一句话描述形状。

✅ 参考答案

两个条件都要满足：$y \geq 0$（根号，取等保留）且 $x^2 + y^2 < 4$（对数，严格小于）。形状：半径 2 的开圆盘的上半（含 $x$ 轴上 $-2 < x < 2$ 的那段直径，不含圆弧边界）。多条件定义域 = 各条件区域的交集。

练习 3 · 平面反向工程

某平面沿 $x$ 方向每走 1 下降 3，沿 $y$ 方向每走 1 上升 2，且过点 $(1, 1, 4)$。写出它的方程。

✅ 参考答案

斜率直接读入：$a = -3$，$b = 2$，故 $z = -3x + 2y + c$。代入 $(1, 1, 4)$：$4 = -3 + 2 + c \Rightarrow c = 5$：

$$z = -3x + 2y + 5$$

"两个斜率 + 一个点"定一张平面——第 5 课的切平面公式就是这个套路的正式版。

📝 随堂测验

随堂测验0 / 5 题正确

1. 二元函数 $z = f(x, y)$ 的图像是？

A平面上的一条曲线B三维空间中的一张曲面：每个定义域内的点 $(x,y)$ 上方有唯一高度 $z$C一族互不相交的直线D一个数值表格

2. $f(x, y) = \ln(y - x^2)$ 的定义域是？

A$y \geq x^2$B$y \neq x^2$C整个平面D$y > x^2$：抛物线上方的开区域

3. 平面 $z = ax + by + c$ 中，系数 $a$ 的含义是？

A固定 $y$ 时，$x$ 每增加 1，$z$ 增加 $a$——沿 $x$ 方向的斜率B平面的最高点C$z$ 轴截距D沿 $y$ 方向的斜率

4. 下列哪个方程的图像不能写成某个二元函数 $z = f(x, y)$ 的曲面？

A$z = x^2 - y^2$B$2x + 3y - z = 5$C$x + y = 1$（三维空间中）D$z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$

5. $f(x, y) = x^2 y + 3y$，则 $f(1, 2)$ 与 $f(2, 1)$ 分别是？

A都等于 7B$f(1,2) = 8$，$f(2,1) = 7$——输入顺序有意义C$f(1,2) = 7$，$f(2,1) = 8$D无法计算

本课小结

• 二元函数 $z = f(x, y)$：两个输入一个输出；输入顺序有意义；定义域从区间升级为平面区域（判定仍是三件套，多条件取交集）
• 图像 = 三维曲面：每个定义域点上方唯一高度；地标住户——抛物面 $x^2 + y^2$（碗）与马鞍面 $x^2 - y^2$（薯片）
• 平面 $z = ax + by + c$：两个方向斜率（$a$ 管 $x$、$b$ 管 $y$）+ 基准高度 $c$；一般式 $Ax + By + Cz = D$ 在 $C \neq 0$ 时可解出 $z$
• 核心伏笔："两个斜率 + 一个点定一张平面"——偏导数（第 4 课）与切平面（第 5 课）都在等它

下一课解决"三维靠想象"的痛点：等高线——登山地图画曲面的办法，把一张曲面压扁成平面上一族曲线而不丢信息。