课程库 › Calculus 2 › S6 · 二阶微分方程 › 第 5 课

弹簧振子（上）—— 简谐运动与欠阻尼

普通课约 45 分钟

本课导读

前四课的数学装备就位，现在进入本单元的主线剧情：弹簧-质量系统。它是全物理学出镜率最高的模型——不只是弹簧，电路振荡、分子振动、建筑物摇摆、音叉发声，方程全长一个样。本课先建模（牛顿 + 胡克，两行搞定），然后处理两种运动：无阻尼的完美振荡（简谐运动）和欠阻尼的减幅振荡。你会亲眼看到第 3 课的"情况三"从纸面公式变成看得见的物理画面。预计 45 分钟。

说明

前置工具箱：第 3 课情况三公式（复根 $\alpha \pm \beta i$ → $e^{\alpha t}(c_1\cos\beta t + c_2\sin\beta t)$ ）；两角差公式 $\cos(A - B) = \cos A\cos B + \sin A\sin B$ ；勾股定理式合并 $\sqrt{A^2 + B^2}$ 。

🔧 30 秒回顾 · 本课要用的旧手艺（熟练可跳过）

① 情况三速查（第 3 课）：特征根 $\alpha \pm \beta i$ ⟹ $x = e^{\alpha t}(c_1\cos\beta t + c_2\sin\beta t)$ ， $\alpha$ 管幅度、 $\beta$ 管快慢。微例： $r^2 + 2r + 5 = 0 \Rightarrow r = -1 \pm 2i \Rightarrow x = e^{-t}(c_1\cos 2t + c_2\sin 2t)$ ——例题 2 原式。⚠️ 翻车点：初值求导时漏外壳 $e^{\alpha t}$ 的乘积法则贡献。

② 两角差公式： $R\cos(\omega t - \varphi) = R\cos\varphi\cos\omega t + R\sin\varphi\sin\omega t$ 。微例： $\sqrt{2}\cos\left(2t - \tfrac{\pi}{4}\right) = \cos 2t + \sin 2t$ ——例题 1 的合并结果，倒着展开就能验算。⚠️ 翻车点： $\varphi$ 的符号——公式里是 $-\varphi$ ，展开后 sin 项系数是 $+R\sin\varphi$ 。

③ 单位圆找角：由 $\cos\varphi = \tfrac{A}{R}, \sin\varphi = \tfrac{B}{R}$ 定 $\varphi$ ，要看两个符号定象限。微例： $\cos\varphi = \sin\varphi = \tfrac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \varphi = \tfrac{\pi}{4}$ 。⚠️ 翻车点：只用 $\tan\varphi = B/A$ 会丢象限信息，差一个 $\pi$ 。

两行建模：从物理定律到微分方程

装置：一根弹簧，下挂质量 $m$ 的物体，量好平衡位置记为 $x = 0$ ，向下拉开一段后放手。设 $x(t)$ 为物体偏离平衡位置的位移。两条定律入场：

胡克定律：弹簧的回复力与位移成正比、方向相反： $F_{\text{弹}} = -kx$ （ $k > 0$ 叫弹性系数，弹簧越硬越大）
阻尼（空气阻力、内摩擦、阻尼器）：与速度成正比、方向相反： $F_{\text{阻}} = -c\,x'$ （ $c \geq 0$ 叫阻尼系数）

牛顿第二定律 $mx'' = F_{\text{合}}$ （第 1 课说过它是二阶方程的出生证明）：

m\,x'' = -kx - c\,x' \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{m\,x'' + c\,x' + k\,x = 0}

一个二阶常系数齐次方程——第 3 课的流水线直接开动。特征方程 $mr^2 + cr + k = 0$ ，判别式 $\Delta = c^2 - 4mk$ 。三分天下在物理世界的名字：

判别式	数学名（第 3 课）	物理名	本课/下课
$c = 0$	纯虚根	无阻尼（undamped）· 简谐运动	本课
$c^2 < 4mk$	复根	欠阻尼（underdamped）	本课
$c^2 = 4mk$	重根	临界阻尼（critical damping）	下一课
$c^2 > 4mk$	两实根	过阻尼（overdamped）	下一课

无阻尼：永不停歇的完美振荡

先看最纯净的情形 $c = 0$ （真空中的理想弹簧）： $mx'' + kx = 0$ 。除以 $m$ 并记 $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ ，方程成为

x'' + \omega_0^2\,x = 0

特征根 $r = \pm\,\omega_0\, i$ （纯虚， $\alpha = 0$ ：外壳 $e^{0t} = 1$ ，不衰不涨），通解：

x = c_1 \cos\omega_0 t + c_2 \sin\omega_0 t

这就是简谐运动（simple harmonic motion）。 $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ 叫固有角频率（natural frequency）——名字里的"固有"是重点：它只由弹簧硬度和质量决定，与怎么拉、拉多远无关。周期 $T = \dfrac{2\pi}{\omega_0}$ 。硬弹簧（ $k$ 大）晃得快，重物体（ $m$ 大）晃得慢，符合直觉。

振幅-相位形式： $c_1\cos + c_2\sin$ 两项叠加其实仍是一条余弦曲线。合并（🔧 工具箱 ②倒用）：

x = R\cos(\omega_0 t - \varphi), \qquad R = \sqrt{c_1^2 + c_2^2}, \quad \cos\varphi = \tfrac{c_1}{R},\ \sin\varphi = \tfrac{c_2}{R}

$R$ 是振幅（摆动的最大幅度）， $\varphi$ 是初相位（波形整体左右平移量）。两种写法各有用途：解初值用 $c_1, c_2$ 形式好算，读物理（"晃多大？多快？"）用 $R, \varphi$ 形式一目了然。

例题 1 · 无阻尼全流程

弹簧系统 $x'' + 4x = 0$ ，初始位移 $x(0) = 1$ 、初始速度 $x'(0) = 2$ 。求运动规律，并写成振幅-相位形式。

第 1 步 · 通解与初值

$\omega_0 = 2$ ，通解 $x = c_1\cos 2t + c_2\sin 2t$ 。代 $x(0) = 1$ ： $c_1 = 1$ 。求导 $x' = -2c_1\sin 2t + 2c_2\cos 2t$ ，代 $x'(0) = 2$ ： $2c_2 = 2 \Rightarrow c_2 = 1$ 。

x = \cos 2t + \sin 2t

第 2 步 · 合并成一条余弦

$R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ ； $\cos\varphi = \sin\varphi = \tfrac{1}{\sqrt{2}}$ ，两个都为正 → 第一象限（🔧 工具箱 ③）， $\varphi = \tfrac{\pi}{4}$ ：

x = \sqrt{2}\,\cos\!\left(2t - \frac{\pi}{4}\right)

一句话读出全部物理：振幅 $\sqrt{2} \approx 1.41$ ，周期 $T = \pi$ ，波形右移 $\tfrac{\pi}{8}$ 。初速度把最大摆幅从 1 推到了 $\sqrt{2}$ ——能量进账的痕迹。

欠阻尼：现实世界的振荡

真实弹簧总有一点摩擦： $c > 0$ 但不大，具体说 $c^2 < 4mk$ 。特征方程 $mr^2 + cr + k = 0$ 给出复根：

r = -\frac{c}{2m} \pm i\,\mu, \qquad \mu = \frac{\sqrt{4mk - c^2}}{2m}

套情况三（🔧 工具箱 ①），通解：

x = e^{-\frac{c}{2m}t}\left(c_1\cos\mu t + c_2\sin\mu t\right) = R\,e^{-\frac{c}{2m}t}\cos(\mu t - \varphi)

这就是欠阻尼运动，画面读三层：

振荡内芯照旧： $\cos(\mu t - \varphi)$ ，物体仍在来回摆
衰减外壳 $e^{-ct/2m}$ ：振幅按指数缩水，摆动被一对收口的"包络线" $\pm R e^{-ct/2m}$ 夹着，最终归于平衡——现实里秋千不推就停，就是它
变慢的节拍： $\mu = \sqrt{\omega_0^2 - \left(\tfrac{c}{2m}\right)^2} < \omega_0$ ——阻尼不仅消振幅，还拖慢节奏。 $\mu$ 称准频率， $\tfrac{2\pi}{\mu}$ 称准周期（"准"字提示它不是严格周期运动——幅度一直在变，只是过零的节拍稳定）

例题 2 · 欠阻尼全流程

系统 $x'' + 2x' + 5x = 0$ （即 $m = 1, c = 2, k = 5$ ）， $x(0) = 2$ ， $x'(0) = 0$ ：从静止释放。求运动规律与包络线。

第 1 步 · 判型与通解

$\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$ ：欠阻尼。 $r = -1 \pm 2i$ （第 3 课例题 3 的老熟人），通解：

x = e^{-t}\left(A\cos 2t + B\sin 2t\right)

准频率 $\mu = 2$ ，比无阻尼时的 $\omega_0 = \sqrt{5} \approx 2.24$ 慢了一点——阻尼拖了节拍。

第 2 步 · 初值与包络线

$x(0) = A = 2$ 。求导归堆（⚠️ 别漏外壳）： $x' = e^{-t}[(-A + 2B)\cos 2t + (-B - 2A)\sin 2t]$ ，代 $x'(0) = 0$ ： $-2 + 2B = 0 \Rightarrow B = 1$ 。

x = e^{-t}\left(2\cos 2t + \sin 2t\right) = \sqrt{5}\,e^{-t}\cos(2t - \varphi), \quad \varphi = \arctan\tfrac{1}{2} \approx 0.46

包络线： $\pm\sqrt{5}\,e^{-t}$ 。每过一个准周期 $\pi$ ，振幅缩水到原来的 $e^{-\pi} \approx 4.3\%$ ——肉眼看大约晃两三下就基本静止。

✍️ 练习

练习 1 · 无阻尼基本功

系统 $x'' + 9x = 0$ ， $x(0) = 0$ ， $x'(0) = 6$ 。求运动规律、振幅和周期。

✅ 参考答案

$\omega_0 = 3$ ， $x = c_1\cos 3t + c_2\sin 3t$ 。 $x(0) = c_1 = 0$ ； $x'(0) = 3c_2 = 6 \Rightarrow c_2 = 2$ ：

x = 2\sin 3t

振幅 $R = 2$ ，周期 $T = \tfrac{2\pi}{3}$ 。从平衡位置被"踢"一脚出发（纯初速度），运动是纯 sin——相位自动就位，不必强行改写成余弦。

练习 2 · 振幅-相位改写

把 $x = 3\cos t - 3\sin t$ 写成 $R\cos(t - \varphi)$ 形式。

✅ 参考答案

$R = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}$ 。 $\cos\varphi = \tfrac{3}{3\sqrt{2}} = \tfrac{1}{\sqrt{2}}$ ， $\sin\varphi = \tfrac{-3}{3\sqrt{2}} = -\tfrac{1}{\sqrt{2}}$ ：cos 正、sin 负 → 第四象限， $\varphi = -\tfrac{\pi}{4}$ ：

x = 3\sqrt{2}\,\cos\!\left(t + \frac{\pi}{4}\right)

只用 $\tan\varphi = -1$ 会在 $-\tfrac{\pi}{4}$ 和 $\tfrac{3\pi}{4}$ 之间抓瞎——两个符号定象限（工具箱 ③）不是可选项。

练习 3 · 判型与准周期

系统 $x'' + x' + x = 0$ 。判断阻尼类型，若为欠阻尼求准频率与准周期。

✅ 参考答案

$\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ ：欠阻尼。 $r = -\tfrac{1}{2} \pm \tfrac{\sqrt{3}}{2}i$ ，准频率 $\mu = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，准周期 $\tfrac{2\pi}{\mu} = \tfrac{4\pi}{\sqrt{3}} \approx 7.26$ 。对照无阻尼版（ $x'' + x = 0$ ， $\omega_0 = 1$ ， $T = 2\pi \approx 6.28$ ）：阻尼让节拍从 6.28 拖长到 7.26。

📝 随堂测验

随堂测验0 / 5 题正确

1. 弹簧方程 $mx'' + cx' + kx = 0$ 中三个系数的物理身份是？

2. 无阻尼系统的固有频率 $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ 不依赖于？

3. 欠阻尼解 $x = Re^{-ct/2m}\cos(\mu t - \varphi)$ 中，包络线指的是？

4. 与无阻尼相比，欠阻尼的振动节拍（频率）会？

5. 把 $c_1\cos\omega t + c_2\sin\omega t$ 合并为 $R\cos(\omega t - \varphi)$ 时，确定 $\varphi$ 的正确做法是？

本课小结

建模两行：牛顿 $mx'' = F$ + 胡克 $-kx$ + 阻尼 $-cx'$ ⟹ $mx'' + cx' + kx = 0$ ；判别式 $c^2 - 4mk$ 把命运分成四档（无/欠/临界/过阻尼）
无阻尼： $x'' + \omega_0^2 x = 0$ ， $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ 是固有频率——只看体质不看初值；解是简谐运动，可合并为 $R\cos(\omega_0 t - \varphi)$
合并技术： $R = \sqrt{c_1^2 + c_2^2}$ ， $\varphi$ 靠 cos、sin 两个符号定象限
欠阻尼（ $c^2 < 4mk$ ）：衰减外壳 × 振荡内芯，包络线 $\pm Re^{-ct/2m}$ 收口；准频率 $\mu < \omega_0$ ——阻尼既消幅又拖拍
固有频率的"固有"二字是第 7 课共振的引信，先揣好

下一课看阻尼继续加大后的另外两种命运：过阻尼的慢吞吞爬回，和工程师最爱的临界阻尼——以及一个反直觉事实：阻尼加得越猛，回家反而越慢。

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