混合问题 —— 水箱里的一阶线性方程

① 积分因子四步（第 3 课）：标准化 → $\mu = e^{\int p\,dt}$ → 左边折叠成 $(\mu A)'$ → 积分。微例：$p = \dfrac{2}{100+t} \Rightarrow \mu = e^{2\ln(100+t)} = (100+t)^2$——例题 2 原式。⚠️ 翻车点：$e^{k\ln u} = u^k$ 的化简。

② 指数衰减模板：$A' = -\dfrac{A}{\tau} \Rightarrow A = A_0 e^{-t/\tau}$，与终点的剩余差距每 $\tau\ln 2$ 减半。微例：练习 2 的通风问题整题就是它。⚠️ 翻车点：$\tau$ 在分母——时间常数越大衰减越慢。

③ 定性读答案（第 5-6 课）：$f(A^*) = 0$ 找平衡，$f'(A^*) < 0$ 则稳定。例题 1 第 2 步用它不解方程先"预习"出 50 kg。

进出流量相等，$V \equiv 100$ L。记账：

自治方程！平衡点：$1 - \dfrac{A^*}{50} = 0 \Rightarrow A^* = 50$ kg；$f'(A) = -\dfrac{1}{50} < 0$，稳定。不解方程已知结局：盐量将单调爬向 50 kg。合理性核对：50 kg / 100 L = 0.5 kg/L——箱内浓度终将追平进水浓度，直觉完全认账（一直灌 0.5 的水，最后整箱都是 0.5）。

标准化：$A' + \dfrac{1}{50}A = 1$，$\mu = e^{t/50}$：$(e^{t/50}A)' = e^{t/50}$，积分得 $e^{t/50}A = 50e^{t/50} + C$，通解 $A = 50 + Ce^{-t/50}$。初值 $A(0)=0$ 定 $C = -50$：

验证：$A' = e^{-t/50}$，而 $1 - \dfrac{A}{50} = e^{-t/50}$ ✓；$A(0) = 0$ ✓；$t \to \infty$ 时 $A \to 50$，与定性预习互相盖章。指数逼近的节奏和咖啡如出一辙——它本来就是咖啡方程的亲戚。

净流入 $3 - 2 = 1$ L/min，故 $V(t) = 100 + t$。记账：

变系数一阶线性——不再自治（规则看钟表：同样的 $A$，水多时流失浓度低），定性捷径失效，正面强攻。

折叠积分：$\big((100+t)^2 A\big)' = 3(100+t)^2$，两边积分得 $(100+t)^2 A = (100+t)^3 + C$：

$A(0) = 10$：$100 + \dfrac{C}{10^4} = 10 \Rightarrow C = -9 \times 10^5$：

核对 $A(0) = 100 - 90 = 10$ ✓。读答案：$t$ 大时修正项消失，$A \approx 100 + t = V(t)$，即浓度 $\dfrac{A}{V} \to 1$ kg/L——又追平进水浓度。两道例题殊途同归的这条规律，值得放进直觉库：只进一种水，箱子终成那种水。（现实提醒：若水箱有容量上限，解只在灌满前有效——第 2 课"解的有效期"再现。）

$25 = 50(1 - e^{-t/50}) \Rightarrow e^{-t/50} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow t = 50\ln 2 \approx 34.7$ 分钟。指数逼近的通用节奏：每过 $50\ln 2$ 分钟，与终点的剩余差距减半——和放射性半衰期是同一个数学。

记账：流入为 0（洁净），流出 $\dfrac{A}{60}\times 3 = \dfrac{A}{20}$：

（可分离送分题——混合问题不总需要积分因子。）令 $A = 30$：$e^{-t/20} = 0.1$，$t = 20\ln 10 \approx 46$ 分钟。同构清单打卡：这就是"进水浓度为零"的水箱，也是静脉停药后的血药浓度衰减。

平衡点 $A^* = 100$ kg，$f' = -\dfrac{1}{100} < 0$ 稳定：盐量将从 40 kg 单调爬向 100 kg（= $0.2 \times 500$，浓度追平进水，直觉盖章）。建模 + 定性 = 一滴积分不用，报告已经能交——这正是本单元想给你的完整工作流。