换元积分法 —— 链式法则倒着走

本课导读

欢迎来到 S4 · Integral Calculus。解微分方程时（S5 的分离变量、积分因子），最后一步永远是一句轻描淡写的"两边积分"——真正的功夫全藏在这一步里。S4 这个单元就是把"两边积分"背后的手艺逐一擦亮：换元、三角变形、分部、配方、部分分式。如果你已经刷完 S5/S6，这里就是回来清"技术债"的地方；如果你按编号顺序走到这，那这些手艺马上就要在 S5 派上大用场。

第一件兵器，也是使用频率最高的一件：换元法。它的本质一句话讲完——链式法则倒着走。预计 40 分钟。

🔧 30 秒回顾 · 本课要用的旧手艺（熟练可跳过）

① 求导表倒着读 = 积分表：$(\sin x)' = \cos x$、$(e^x)' = e^x$、$\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)' = x^n$、$(\ln x)' = \frac{1}{x}$。微例：$\int \cos x\,dx = \sin x + C$——积分就是在问"谁求导等于它？"。⚠️ 翻车点：$\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C$ 的绝对值总被忘；$+C$ 丢了扣分没商量。

② 链式法则：$[f(g(x))]' = f'(g(x))\cdot g'(x)$。微例：$(\sin(x^2))' = \cos(x^2)\cdot 2x$——本课例题 1 就是它从右往左走。⚠️ 翻车点：忘乘内层导数 $g'(x)$。

③ 微分记号：$du = u'(x)\,dx$。微例：$u = x^2$ 时 $du = 2x\,dx$，于是 $x\,dx = \tfrac{1}{2}du$——例题 2 马上原样用。⚠️ 翻车点：写成 $du = u'(x)$ 丢掉 $dx$，换元时账就对不上了。

积分为什么比求导难

求导是流水线：任何初等函数，套规则必出答案。积分是侦探活：没有万能规则，只有一套"作案手法识别指南"。好消息是，指南的每一条都来自求导规则的倒放——

求导规则	倒着走	在哪学
链式法则	换元积分法	本课
乘积法则	分部积分法	第 3 课

链式法则说 $[F(g(x))]' = F'(g(x))\,g'(x)$。两边积分，立刻得到本课的总纲：

$$\int F'(g(x))\,g'(x)\,dx = F(g(x)) + C$$

翻译成人话：只要被积函数长成「外层函数(内层) × 内层的导数」，答案直接写出来。换元法就是把这个结构认出来的流程。

第一式：凑微分 —— 认出 du

例题 1：求 $\displaystyle\int 2x\cos(x^2)\,dx$。

侦查：$\cos(\,\cdot\,)$ 里坐着 $x^2$，而它的导数 $2x$ 恰好就站在旁边（🔧 工具箱 ②：这正是链式法则的产物特征）。

令 $u = x^2$，则 $du = 2x\,dx$，整个积分完成变身：

$$\int \cos\underbrace{(x^2)}_{u}\ \underbrace{2x\,dx}_{du} = \int \cos u\,du = \sin u + C = \sin(x^2) + C$$

例题 2（差常数因子的标准操作）：求 $\displaystyle\int x\,e^{x^2}\,dx$。

令 $u = x^2$，$du = 2x\,dx$。但被积函数里只有 $x\,dx$，缺个 2——不慌，微分记号自己会算账（🔧 工具箱 ③）：$x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du$，于是

$$\int e^{x^2}\,x\,dx = \frac{1}{2}\int e^u\,du = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$$

凑微分速查表（左边是你看到的，右边是你该想到的）：

看到	想到
$x\,dx$	$\tfrac{1}{2}\,d(x^2)$
$e^x\,dx$	$d(e^x)$
$\dfrac{dx}{x}$	$d(\ln\lvert x\rvert)$
$\cos x\,dx$	$d(\sin x)$
$\sin x\,dx$	$-\,d(\cos x)$
$\sec^2 x\,dx$	$d(\tan x)$
$dx$	$\tfrac{1}{a}\,d(ax+b)$

例题 3（一个值得记住的结论）：求 $\displaystyle\int \tan x\,dx$。

$$\int \tan x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx \;\xlongequal{u = \cos x,\ du = -\sin x\,dx}\; \int \frac{-du}{u} = -\ln|u| + C = -\ln|\cos x| + C$$

分子恰好（差个负号）是分母的导数——这种 $\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ 结构一律积成 $\ln|f(x)|$，第 6 课的有理函数流水线上它是主力工人。

换元五步流程

凑微分熟练后可以心算，但写全 $u$ 的版本永远是保底流程：

1. 选 $u$（通常选"括号里的""根号下的""指数上的""分母里的"）
2. 算 $du = u'(x)\,dx$
3. 全替换——把积分式里每个 $x$ 都换掉
4. 积分（此时应是查表就会的形状；不是就回第 1 步换人）
5. 回代，把 $u$ 换回 $x$ 的表达式

定积分换元：换元就换限

例题 4：求 $\displaystyle\int_0^1 x\sqrt{1-x^2}\,dx$。

令 $u = 1 - x^2$，$du = -2x\,dx$，即 $x\,dx = -\tfrac{1}{2}du$。积分限跟着换：$x=0 \Rightarrow u=1$，$x=1 \Rightarrow u=0$。

$$\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\;x\,dx = -\frac{1}{2}\int_1^0 \sqrt{u}\,du = \frac{1}{2}\int_0^1 u^{1/2}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$

上下限颠倒时交换上下限、积分变号——恰好把前面的负号吃掉，这在 $u = a - x^2$ 型换元里几乎每次都发生。

第二式：主动换元 —— x 自己上桌

凑微分是"被动认结构"；有时结构藏得深，要主动引入新变量把它挖出来。最常见的场景是根式。

例题 5：求 $\displaystyle\int \frac{dx}{1+\sqrt{x}}$。

根号最碍事，那就让它消失：令 $t = \sqrt{x}$，即 $x = t^2$，$dx = 2t\,dt$：

$$\int \frac{2t\,dt}{1+t} = 2\int \frac{(1+t)-1}{1+t}\,dt = 2\int \left(1 - \frac{1}{1+t}\right)dt = 2t - 2\ln(1+t) + C$$

回代 $t = \sqrt{x}$：$\;2\sqrt{x} - 2\ln(1+\sqrt{x}) + C$。（$1+\sqrt{x} > 0$，绝对值可以光明正大省略。）

这类"设 $x =$ 某个 $t$ 的函数"的换元还有个著名分支——三角换元（$x = a\sin\theta$ 之类）。本单元用第 4 课的配方法 + 标准公式覆盖最常见的需求，三角换元的全家桶留给以后扩编。

✍️ 练习

逐题先自己动手，再开答案。

1. $\displaystyle\int \frac{\ln x}{x}\,dx$

✅ 参考答案

$u = \ln x$，$du = \dfrac{dx}{x}$——被积函数正好是 $u\,du$：

$$\int u\,du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$$

2. $\displaystyle\int \frac{x^2}{1+x^3}\,dx$

✅ 参考答案

$u = 1+x^3$，$du = 3x^2\,dx$，即 $x^2\,dx = \tfrac{1}{3}du$：

$$\frac{1}{3}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{3}\ln|1+x^3| + C$$

分子是分母导数的 $\tfrac{1}{3}$ 倍——又是 $\frac{f'}{f}$ 结构。

3. $\displaystyle\int \frac{dx}{x\ln x}$

✅ 参考答案

$u = \ln x$，$du = \dfrac{dx}{x}$：

$$\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C = \ln|\ln x| + C$$

套娃对数不是笔误，就长这样。

4. $\displaystyle\int_0^1 x\,e^{x^2}\,dx$

✅ 参考答案

$u = x^2$，$x\,dx = \tfrac{1}{2}du$；换限：$x\colon 0\to 1 \;\Rightarrow\; u\colon 0\to 1$：

$$\frac{1}{2}\int_0^1 e^u\,du = \frac{1}{2}(e - 1)$$

这题限恰好没变——但那是算出来的，不是默认的。

5.（思考题）为什么 $\displaystyle\int e^{x^2}\,dx$ 换元救不了？

✅ 参考答案

$u = x^2$ 要求场上有 $2x\,dx$，但被积函数只有 $dx$。硬换的话 $dx = \dfrac{du}{2\sqrt{u}}$，得到 $\displaystyle\frac{1}{2}\int \frac{e^u}{\sqrt{u}}\,du$——不但没简化，还是同一难度的换皮。事实上数学已证明 $e^{x^2}$ 的原函数无法用初等函数表示（刘维尔定理），它的近亲 $e^{-x^2}$ 在概率论里重要到人们直接给原函数发了新名字（误差函数 $\operatorname{erf}$）。

📝 随堂测验

随堂测验0 / 5 题正确

1. 要计算 $\int x^3\sqrt{x^4+1}\,dx$，最顺手的换元是？

A$u = x^3$B$u = \sqrt{x^4+1}$C$u = x^4 + 1$D$u = x^4$

2. 计算 $\int x\,e^{x^2}\,dx$ 时 $du = 2x\,dx$，但被积函数里只有 $x\,dx$，正确处理是？

A写 $x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du$，常数 $\tfrac{1}{2}$ 提到积分号外B在积分号里乘 $2x$、同时在积分号外除以 $2x$Cu 选错了，应改选 $u = e^x$D凑不出来，此积分没有初等原函数

3. 定积分 $\int_0^1 x\sqrt{1-x^2}\,dx$ 令 $u = 1-x^2$ 换元后，u 的积分限是？

A仍从 0 到 1，限不用动B从 $-1$ 到 0C从 0 到 $-1$D从 1 到 0

4. $\int \tan x\,dx = $ ?

A$\ln|\sin x| + C$B$-\ln|\cos x| + C$C$\sec^2 x + C$D$\tfrac{1}{2}\tan^2 x + C$

5. 下列哪个积分没有初等原函数（换元也救不了）？

A$\int e^{x^2}\,dx$B$\int x\,e^{x^2}\,dx$C$\int 2x\,e^{x^2}\,dx$D$\int e^{2x}\,dx$

本课小结

• 积分是求导的倒放：换元法 = 链式法则倒着走，专认「外层(内层) × 内层导数」结构
• 凑微分：差常数因子随便补（$x\,dx = \tfrac{1}{2}d(x^2)$），差含 $x$ 的因子没得救
• $\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ 结构一律积成 $\ln|f(x)| + C$——记住 $\int\tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C$
• 五步流程的红线：替换完一个 $x$ 都不能剩；定积分换元就换限（或老实回代后用原限，不许混搭）
• 根式碍事就主动换元让它消失（$t = \sqrt{x}$）
• 验算 3 秒：答案求导，回到被积函数才准走

下一课处理另一类"长相不对"的被积函数：$\sin^2 x$、$\sin^3 x\cos^2 x$ 这些三角幂次——积分技巧都认识它们，就是得先用三角恒等变换给它们整个容。