定性分析（下）—— 平衡点的稳定性

本课导读

上一课的相线图里出现了两种气质迥异的平衡点：箭头从两侧涌向它的"迎客型"，和箭头四散奔逃的"送客型"。本课给它们颁发正式名称——稳定与不稳定——外加一位骑墙的半稳定；然后学一个免画图的导数判别法：往 $f'$ 里代一个数，平衡点的性格当场判明。这套概念是第 7 课人口模型的直接弹药：鱼塘为什么会突然崩溃，答案就藏在稳定性里。预计 40 分钟。

🔧 30 秒回顾 · 本课要用的旧手艺（熟练可跳过）

① 求导并代值：多因子乘积先展开再求导更稳。微例：$f = y(1-y)(y-2) = -y^3 + 3y^2 - 2y$，$f' = -3y^2 + 6y - 2$，再逐点代值——例题 1 原式。⚠️ 翻车点：对三因子乘积直接硬套乘积法则，极易漏项。

② 线性近似：$f(y) \approx f(y^*) + f'(y^*)(y - y^*)$；平衡点处 $f(y^*) = 0$，只剩斜率项——导数判别法的全部来历。本课只用它讲道理，不用它计算。

三种性格，正式命名

设 $y^*$ 是自治方程 $y' = f(y)$ 的平衡点，看它对附近出发的解的态度：

• 稳定（stable，亦称汇/吸引子）：两侧附近的解都回到 $y^*$。咖啡的室温 20 度、Logistic 的上限 $K$
• 不稳定（unstable，源/排斥子）：两侧附近的解都离开 $y^*$。上一课 $(y-1)(y-3)$ 里的分水岭 $y=3$
• 半稳定（semi-stable）：一侧来、一侧走的骑墙派——只在 $f$ 不变号的退化情形出现，稍后见真身

为什么这个分类重要？因为现实世界充满扰动。数学上山顶的球可以永远待着（不稳定平衡也是货真价实的解），但一阵风、一次测量误差、一只路过的松鼠，就把它送下山。所以自然界里长期观察到的状态，几乎都是稳定平衡——不稳定平衡是理论上存在、现实中留不住的"纸面状态"。

导数判别法：代一个数，定一个性

不画相线图也能判性格。在 $y^*$ 附近做线性近似（$f(y^*) = 0$，所以只剩一项）：

$$f(y) \approx f'(y^*)\,(y - y^*)$$

设偏差 $u = y - y^*$，则附近的动力学近似为 $u' = f'(y^*)\,u$——第 2 课就解过的老朋友，解是 $u = u_0 e^{f'(y^*)t}$：指数的正负号说了算。

$$\boxed{\;f'(y^*) < 0 \Rightarrow \text{稳定}\qquad f'(y^*) > 0 \Rightarrow \text{不稳定}\qquad f'(y^*) = 0 \Rightarrow \text{判别法沉默}\;}$$

直觉核对：$f'(y^*) < 0$ 表示 $f$ 在 $y^*$ 处从正穿到负——左侧 $f>0$ 往上推、右侧 $f<0$ 往下压，两边都往回送，正是碗底。判别法沉默时（$f'(y^*) = 0$）不代表半稳定，只代表"线性近似看不清"，退回相线图定号。

例题 1 · 三个平衡点的快速审判

判定 $y' = y\,(1-y)\,(y-2)$ 各平衡点的稳定性。

第 1 步 · 找平衡点，备好 f′

平衡点一眼读出：$y^* = 0,\ 1,\ 2$。展开 $f = -y^3 + 3y^2 - 2y$（把 $(1-y)(y-2) = -y^2+3y-2$ 再乘 $y$），求导：

$$f'(y) = -3y^2 + 6y - 2$$

第 2 步 · 逐点代值宣判

$$f'(0) = -2 < 0 \quad f'(1) = -3 + 6 - 2 = 1 > 0 \quad f'(2) = -12 + 12 - 2 = -2 < 0$$

判决：$0$ 稳定、$1$ 不稳定、$2$ 稳定。图景：$y=1$ 是分水岭，两侧的解分别被 $0$ 和 $2$ 收留——稳定与不稳定沿轴交替出现（$f$ 连续时的常态：穿零的方向一正一负轮流来）。

例题 2 · 判别法沉默时：半稳定现身

判定 $y' = (y - 2)^2$ 在 $y^* = 2$ 处的稳定性。

第 1 步 · 判别法先试

$f' = 2(y-2)$，$f'(2) = 0$——沉默。退回相线图。

第 2 步 · 相线图定号

$(y-2)^2$ 在 $y=2$ 两侧都非负：两侧箭头都向上 ↑。于是下方的解爬向 2（这一侧像稳定），上方的解离开 2 飞向无穷（这一侧像不稳定）——半稳定，台阶边缘的球。特征就是 $f$ 碰零不穿零（平方因子是典型标志）。

✍️ 练习

练习 1 · 上节课的图，这节课的法

用导数判别法重判 $y' = y^2 - 9$ 的两个平衡点，与上一课练习 1 的相线图结论对照。

✅ 参考答案

$f' = 2y$：$f'(-3) = -6 < 0$ 稳定；$f'(3) = 6 > 0$ 不稳定。与相线图（$-3$ 迎客、$3$ 送客）完全一致。两法互为验算——又一份免费保险。

练习 2 · 混合案情

判定 $y' = y^2\,(y - 1)$ 各平衡点的稳定性。

✅ 参考答案

平衡点 $y^* = 0, 1$。$f' = 3y^2 - 2y$：$f'(1) = 1 > 0$ 不稳定；$f'(0) = 0$ 沉默 → 相线定号：$y$ 在 0 附近（不论正负一侧）$y^2 > 0$ 而 $y - 1 < 0$，故 $f < 0$，两侧箭头都向下 ↓——上方的解落向 0、下方的解离开 0：半稳定（平方因子再度现形）。

练习 3 · 参数扫描（第 7 课的预告片）

方程 $y' = y^2 - a$ 中 $a$ 是可调参数。分别讨论 $a > 0$、$a = 0$、$a < 0$ 三种情形下平衡点的个数与稳定性。

✅ 参考答案

$a > 0$：两个平衡点 $\pm\sqrt{a}$；$f' = 2y$ 给出 $-\sqrt{a}$ 稳定、$+\sqrt{a}$ 不稳定。$a = 0$：两点合并成 $y^* = 0$，$f = y^2$ 碰零不穿零——半稳定。$a < 0$：$y^2 - a > 0$ 恒成立，平衡点消失，所有解一路向上。

注意这个剧情：参数滑过临界值的瞬间，稳定点和不稳定点相撞、合并、双双湮灭，系统从"有归宿"突变为"全线奔逸"。记住这一幕——下一课渔场崩溃的数学机制，正是它。

📝 随堂测验

随堂测验0 / 5 题正确

1. 稳定平衡点的定义特征是？

A两侧附近出发的解都回到 $y^*$——碗底的球，轻推滚回来B$f(y^*) = 0$ 且 $y^*$ 是整数C解在该点速度最大D只有线性方程才有

2. 为什么自然界长期观察到的状态几乎都是稳定平衡？

A不稳定平衡在数学上不存在B稳定平衡的数量总是更多C现实充满扰动：不稳定平衡像山顶的球，理论上能待着，任何风吹草动都会把它送走D观测仪器只能看到稳定平衡

3. 导数判别法的内容是？

A$f(y^*) = 0$ 则稳定B$f'(y^*) < 0$ 稳定；$f'(y^*) > 0$ 不稳定；$f'(y^*) = 0$ 时判别法沉默，退回相线图C$f'(y^*) = 0$ 则一定是半稳定D$f''(y^*)$ 的符号决定一切

4. $f$ 在平衡点处“碰零不穿零”（如 $(y-2)^2$）对应的性格是？

A稳定B不稳定C不是平衡点D半稳定：一侧的解靠近、另一侧的解离开——台阶边缘的球

5. 练习 3 中参数 $a$ 从正滑到负的过程里发生了什么？

A稳定点与不稳定点相撞合并（$a=0$ 时半稳定），随后双双消失，系统失去所有归宿B平衡点越来越多C所有平衡点都变稳定D方程失去意义

本课小结

• 三种性格：稳定（碗底）/不稳定（山顶）/半稳定（台阶边）——看"轻推后的反应"
• 现实有扰动 ⇒ 可长期观察的状态 ≈ 稳定平衡；不稳定平衡是留不住的纸面状态
• 导数判别法：$f'(y^*)<0$ 稳、$>0$ 不稳、$=0$ 沉默（退回相线图；平方因子 → 半稳定的常客）
• 稳定/不稳定沿轴交替是常态（$f$ 穿零方向轮流变号）
• 参数滑过临界值 → 平衡点碰撞合并湮灭：系统行为突变的机制，下课渔场见

延伸阅读（可选，跳过不影响主线）

• Paul's Online Notes · Equilibrium Solutions——用 Logistic 方程带着画了一整套相线与解曲线簇，正好是下一课主角的预习；术语对照：它把半稳定写作 semi-stable（英文，跳过不影响主线）

兵器库集齐：解法三连（第 2-4 课）+ 定性双雄（第 5-6 课）。下一课全体出动，打一场真实战役——人口模型专题：从马尔萨斯的指数噩梦到 Logistic 的 S 形曲线，再算清一个渔场为什么会在"看起来还行"的捕捞量下突然崩溃。