等高线与草图 —— 把三维压扁成登山地图

本课导读

上一课的曲面全靠脑补，本课交付两件实用工具：等高线（level curves）——登山地图的画法，把曲面不失真地压扁到平面上；以及切片法——用几刀竖切把曲面的立体轮廓摸出来。学完后，给你一个 $f(x, y)$，你能徒手画出它的"地形图"；给你一张地形图，你能读出哪里陡、哪里平、哪里是山顶。这项读图能力会在第 7 课（梯度垂直于等高线）和第 8 课（鞍点的等高线长相）反复变现。预计 40 分钟。

🔧 30 秒回顾 · 本课要用的旧手艺（熟练可跳过）

① 圆的方程：$x^2 + y^2 = r^2$ 是圆心在原点、半径 $r$ 的圆。微例：$x^2 + y^2 = 4$ 半径 2——例题 1 中 $k = 4$ 的等高线。⚠️ 翻车点：把 $r^2 = 4$ 读成半径 4。

② 抛物线平移：$y = x^2 + k$ 是 $y = x^2$ 竖直上移 $k$。微例：$y = x^2 + 2$ 顶点 $(0, 2)$——例题 2 的等高线族。⚠️ 翻车点：$+k$ 平移方向想反。

③ 反比例双曲线：$xy = k$（$k \neq 0$）是双曲线，$k > 0$ 在一三象限、$k < 0$ 在二四象限。微例：$xy = 1$ 过 $(1,1)$。⚠️ 翻车点：忘了 $k = 0$ 时退化成两条坐标轴。

等高线：登山地图的智慧

登山地图不画三维山体，它画等高线：把海拔恰好等于 100 米的点连成一条曲线，200 米的连成另一条……一族曲线配上高度标签，三维地形跃然纸上。搬到数学里：

定义：函数 $f(x, y)$ 的 $k$-等高线是平面点集

$$f(x, y) = k$$

即"高度恰好为 $k$ 的所有点"。取一串 $k$ 值（通常等间隔，如 $k = 0, 1, 2, 3$）画出一族曲线，就得到等高线图（contour map）。

几何本源：用水平面 $z = k$ 去横切曲面，切口投影到 $xy$ 平面就是 $k$-等高线。一刀一条线，一族刀法把曲面压扁成图。

读图两规则（登山者的直觉，数学里原样成立）：

1. 密 = 陡，疏 = 缓：等高线挤在一起，说明走一小步高度就窜一格——坡陡；间距宽说明地势平缓
2. 等高线不相交：一个点只有一个高度（函数身份），不可能同时在 100 米线和 200 米线上

例题 1 · 碗的地形图

画出 $f(x, y) = x^2 + y^2$ 在 $k = 0, 1, 4, 9$ 处的等高线，并读出地形。

✅ 解法展开

方程 $x^2 + y^2 = k$（🔧 工具箱 ①）：

• $k = 0$：单点（原点）——"山底"缩成一个点
• $k = 1, 4, 9$：同心圆，半径依次 $1, 2, 3$

注意关键细节：高度差都是等步长吗？不——$k$ 从 0 到 1、1 到 4、4 到 9，半径只从 1 到 2 到 3。换成等间隔 $k = 1, 2, 3, 4$，半径是 $1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2$——越往外圈距越挤。读图：离原点越远坡越陡，和"碗壁越来越陡"的立体直觉完全吻合。

对照组：锥面 $g = \sqrt{x^2 + y^2}$ 的等高线是半径恰好为 $k$ 的圆——等间隔 $k$ 给出等间距圆，坡度处处一样（锥面是"直筒斜坡"）。等高线的疏密变化，就是曲面弯曲信息的平面指纹。

例题 2 · 两族非圆地形

分别描述 $f(x, y) = y - x^2$ 与 $g(x, y) = xy$ 的等高线族。

✅ 解法展开

$f = y - x^2$：等高线 $y - x^2 = k$，即 $y = x^2 + k$（🔧 工具箱 ②）——同一条抛物线的竖直平移族，$k$ 越大越靠上。间距处处相等：这张曲面沿 $y$ 方向是匀速斜坡。

$g = xy$：等高线 $xy = k$（🔧 工具箱 ③）——$k > 0$ 一三象限的双曲线、$k < 0$ 二四象限的双曲线、$k = 0$ 退化为两条坐标轴。原点附近四个象限高度两正两负、轴上恰为零——这正是鞍点的等高线指纹（$xy$ 与上一课的马鞍面 $x^2 - y^2$ 只差一个 45° 旋转），第 8 课回收。

切片法：几刀摸清立体轮廓

等高线是横切；再补几刀竖切，曲面的立体感就完整了。切片法（traces）：令 $x = 0$（或 $y = 0$、$x = c$），看曲面与竖直平面的交线。

以抛物面 $z = x^2 + y^2$ 为例，三刀定型：

• 竖切 $x = 0$：$z = y^2$——$yz$ 平面里一条开口向上的抛物线
• 竖切 $y = 0$：$z = x^2$——同款抛物线
• 横切 $z = k$：同心圆族（例题 1）

"竖切是抛物线、横切是圆" ⟹ 把抛物线绕 $z$ 轴旋转成的碗。再演马鞍面 $z = x^2 - y^2$：

• $y = 0$：$z = x^2$，开口向上（沿 $x$ 是谷）
• $x = 0$：$z = -y^2$，开口向下（沿 $y$ 是脊）
• $z = 0$：$x^2 = y^2$，两条对角直线 $y = \pm x$

一个方向上凸、一个方向下凹、零高度线打叉——薯片的完整验明正身。

✍️ 练习

练习 1 · 画等高线族

画出（或描述）$f(x, y) = 2x + y$ 在 $k = -2, 0, 2, 4$ 处的等高线，并解释间距说明了什么。

✅ 参考答案

$2x + y = k$ 即 $y = -2x + k$：斜率 $-2$ 的平行直线族，等间隔 $k$ 给出等间距直线。读图：坡度处处相同——因为曲面本来就是一张平面（上一课的 $z = 2x + y$）。平面的等高线指纹 = 等距平行线，反过来也成立。

练习 2 · 读图断陡缓

某函数的等高线是同心圆，$k = 1, 2, 3, 4$ 对应的半径为 $1, 4, 9, 16$。这座"山"越往外越陡还是越缓？它可能是哪个函数？

✅ 参考答案

半径增量 $3, 5, 7$ 越来越大——同样的高度差要走越来越远的水平路，越往外越缓。半径 $r = k^2$ 即 $k = \sqrt{r}$，所以 $f(x, y) = \sqrt[]{\sqrt{x^2 + y^2}} = (x^2 + y^2)^{1/4}$ 这类"开口渐平"的曲面符合。对照例题 1：同是同心圆，疏密趋势相反，曲面的弯法就相反——等高线密度是曲面的指纹。

练习 3 · 切片验鞍

用三刀切片法（$x = 0$、$y = 0$、$z = 0$）分析 $f(x, y) = y^2 - x^2$，说明它与 $x^2 - y^2$ 的关系。

✅ 参考答案

$y = 0$：$z = -x^2$ 开口向下（沿 $x$ 是脊）；$x = 0$：$z = y^2$ 开口向上（沿 $y$ 是谷）；$z = 0$：仍是 $y = \pm x$ 打叉。它就是 $x^2 - y^2$ 的"谷脊互换版"——同一张马鞍面绕 $z$ 轴转 90°。鞍形的判据不在于哪个方向凸，而在于两个方向凸性相反。

📝 随堂测验

随堂测验0 / 5 题正确

1. 函数 $f(x,y)$ 的 $k$-等高线的几何本源是？

A用竖直平面 $x = k$ 切曲面的切口B曲面在 $z$ 轴上的投影C用水平面 $z = k$ 横切曲面，切口投影到 $xy$ 平面D曲面的边界线

2. 等高线图上某区域的线挤得特别密，说明该处？

A坡度陡：走一小步水平路，高度就窜一格B地势平缓C函数无定义D一定是山顶

3. 两条不同高度的等高线（如 $k=1$ 与 $k=2$）可能相交吗？

A可能，在陡坡处B可能，在鞍点处C只有闭合曲线才不相交D不可能：一个点只有一个函数值，不能同时属于两个高度

4. $f(x, y) = xy$ 的等高线族是？

A同心圆B双曲线族（$k>0$ 一三象限、$k<0$ 二四象限），$k=0$ 退化为两条坐标轴C平行直线族D抛物线族

5. 等高线是等距平行直线的函数，其曲面是？

A一张平面B抛物面C锥面D马鞍面

本课小结

• 等高线 $f(x, y) = k$：水平面横切曲面的投影；一族 $k$ 值 = 一张地形图
• 读图规则：密 = 陡、疏 = 缓；不同高度的等高线永不相交
• 指纹库：抛物面 → 越外越挤的同心圆；锥面 → 等距同心圆；平面 → 等距平行线；鞍形（$xy$ 或 $x^2 - y^2$）→ 双曲线族 + 打叉的零线
• 切片法：$x = 0$、$y = 0$ 竖切出侧影，配合横切拼出立体感；鞍形判据 = 两方向凸性相反
• 工作流：先横切后竖切；这套读图术在第 7 课（梯度 ⊥ 等高线）与第 8 课（鞍点指纹）直接变现

下一课进入理论地基：极限与连续。一维时逼近只有左右两条路，二维时有无穷多条——一个足以翻车的升级。