配方法 —— 驯服二次三项式

本课导读

看这个积分：$\displaystyle\int\frac{dx}{x^2+4x+13}$。分母因式分解？判别式 $\Delta = 16 - 52 < 0$，实数范围拆不动。换元？分子里没有分母的导数。分部？没有乘积。三件兵器齐齐哑火。

破局的是一件中学老手艺：配方法。把 $x^2+4x+13$ 整成 $(x+2)^2 + 9$，积分立刻落进 $\arctan$ 的标准形。本课三步走：配方手艺复健、三张"标准脸"积分公式、以及一个第 6 课还要大量复用的关键手法——分子拆两半。预计 40 分钟。

🔧 30 秒回顾 · 本课要用的旧手艺（熟练可跳过）

① 完全平方：$x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \frac{b^2}{4}$——加上"一半的平方"再原地还回去。微例：$x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4$——例题 1 的前半段原式。⚠️ 翻车点：二次项系数不是 1 时要先把系数提出来，而且只提前两项，常数项留在外面。

② 反三角求导 → 标准积分：$(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$，$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。倒着读并推广到参数 $a$：$\int\frac{du}{u^2+a^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{u}{a} + C$，$\int\frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}} = \arcsin\frac{u}{a} + C$。微例：$\int\frac{dx}{x^2+9} = \frac{1}{3}\arctan\frac{x}{3} + C$。⚠️ 翻车点：$\arctan$ 前的 $\frac{1}{a}$ 忘写（$\arcsin$ 反而没有这个因子——最容易记串的一对）。

③ 线性换元（第 1 课）：$u = x + h$ 时 $du = dx$，平移白送不费账。微例：$\int\frac{dx}{(x+2)^2+9}$ 里 $u = x+2$ 直接进。⚠️ 翻车点：$u = 2x+1$ 这类带系数的线性换元 $du = 2\,dx$，账要除 2。

配方复健：三步走

目标：把 $ax^2 + bx + c$ 写成 $a(x+h)^2 + k$——平方项 + 常数，消灭孤零零的一次项。

1. 二次项系数不是 1？先提出来（只提前两项）
2. 括号内加"一次项系数一半的平方"，同时原地减掉
3. 整理，展开验算

三个热身（覆盖三种地形）：

$$x^2 + 4x + 13 = (x+2)^2 + 9$$ $$3 - 2x - x^2 = -(x^2 + 2x) + 3 = -\left[(x+1)^2 - 1\right] + 3 = 4 - (x+1)^2$$ $$4x^2 + 4x + 5 = (2x+1)^2 + 4$$

第二个（负二次项系数）最容易翻：先把负号连同 $x$ 项一起收进括号，配完再乘回去。第三个是"取巧型"——$4x^2 + 4x + 1$ 恰是完全平方，比提系数 4 更干净。每次配完花 3 秒展开验算，这是全课回报率最高的动作。

三张标准脸

配方后的分母只剩三种长相，每种对应一个标准积分：

标准脸	积分公式	备注
$u^2 + a^2$	$\displaystyle\int\frac{du}{u^2+a^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{u}{a} + C$	$\Delta < 0$ 的归宿
$\sqrt{a^2 - u^2}$	$\displaystyle\int\frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}} = \arcsin\frac{u}{a} + C$	根号专属
$u^2 - a^2$	对数型（下一课用部分分式亲手推出来）	$\Delta > 0$ 才会遇到

判别式罗盘——拿到 $\dfrac{1}{ax^2+bx+c}$ 型积分先算 $\Delta = b^2 - 4ac$：

• $\Delta < 0$：因式分解无门，配方走 $\arctan$（本课）
• $\Delta > 0$：能因式分解，走部分分式（第 5、6 课）
• $\Delta = 0$：完全平方 $a(x+h)^2$，幂法则直接办，都轮不到新技术

例题：三张脸各来一遍

例题 1：求 $\displaystyle\int\frac{dx}{x^2+4x+13}$。

$\Delta = 16 - 52 < 0$，配方（🔧 工具箱 ①）：$x^2+4x+13 = (x+2)^2 + 9$。令 $u = x+2$（🔧 工具箱 ③，$du = dx$ 白送）：

$$\int\frac{du}{u^2 + 3^2} = \frac{1}{3}\arctan\frac{u}{3} + C = \frac{1}{3}\arctan\frac{x+2}{3} + C$$

例题 2（根号地形）：求 $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{3-2x-x^2}}$。

热身里配好了：$3-2x-x^2 = 4 - (x+1)^2$，正好是 $\sqrt{a^2 - u^2}$ 的脸（$a=2$，$u = x+1$）：

$$\int\frac{du}{\sqrt{2^2 - u^2}} = \arcsin\frac{u}{2} + C = \arcsin\frac{x+1}{2} + C$$

例题 3（分子拆两半——本课最重要的手法）：求 $\displaystyle\int\frac{x+3}{x^2+2x+5}\,dx$。

分子带 $x$，不能直接套标准脸。核心思路：把分子拆成「分母导数的倍数 + 纯常数」。分母导数是 $2x+2$，于是：

$$x + 3 = \frac{1}{2}(2x+2) + 2$$

积分随之裂成两路，各走各的老路：

$$\int\frac{x+3}{x^2+2x+5}\,dx = \underbrace{\frac{1}{2}\int\frac{2x+2}{x^2+2x+5}\,dx}_{\text{第 1 课的 } f'/f \,\to\, \ln} \; + \; \underbrace{2\int\frac{dx}{(x+1)^2+4}}_{\text{本课的配方} \,\to\, \arctan}$$ $$= \frac{1}{2}\ln(x^2+2x+5) + 2\cdot\frac{1}{2}\arctan\frac{x+1}{2} + C = \frac{1}{2}\ln(x^2+2x+5) + \arctan\frac{x+1}{2} + C$$

（$x^2+2x+5 = (x+1)^2+4 > 0$ 恒成立，$\ln$ 的绝对值可以省。）

✍️ 练习

1. $\displaystyle\int\frac{dx}{x^2+6x+10}$

✅ 参考答案

$x^2+6x+10 = (x+3)^2 + 1$，$a = 1$：

$$\arctan(x+3) + C$$

$a=1$ 时 $\frac{1}{a}$ 隐身——但它一直都在。

2. $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{8-2x-x^2}}$

✅ 参考答案

$8-2x-x^2 = 9 - (x+1)^2$：

$$\arcsin\frac{x+1}{3} + C$$

3. $\displaystyle\int\frac{2x+7}{x^2+2x+2}\,dx$

✅ 参考答案

分子拆两半：$2x+7 = (2x+2) + 5$：

$$\int\frac{2x+2}{x^2+2x+2}\,dx + 5\int\frac{dx}{(x+1)^2+1} = \ln(x^2+2x+2) + 5\arctan(x+1) + C$$

4. $\displaystyle\int\frac{dx}{4x^2+4x+5}$

✅ 参考答案

热身配过：$4x^2+4x+5 = (2x+1)^2 + 4$。令 $u = 2x+1$，注意 $du = 2\,dx$（🔧 工具箱 ③ 的翻车点）：

$$\frac{1}{2}\int\frac{du}{u^2+2^2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\arctan\frac{u}{2} + C = \frac{1}{4}\arctan\frac{2x+1}{2} + C$$

5.（思考题）$\displaystyle\int\frac{dx}{x^2-4}$ 为什么不该走 $\arctan$？

✅ 参考答案

$\Delta = 16 > 0$：分母能因式分解成 $(x-2)(x+2)$，这是"第三张脸" $u^2 - a^2$。硬套 $\arctan$ 公式是错的——那条公式的推导依赖 $u^2 + a^2 > 0$ 恒正，而 $x^2 - 4$ 会变号。正确工具是部分分式，下一课两课把它彻底拿下（答案预告：$\frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right| + C$）。

📝 随堂测验

随堂测验0 / 5 题正确

1. $x^2 - 6x + 13$ 配方后是？

A$(x-3)^2 - 4$B$(x+3)^2 + 4$C$(x-6)^2 - 23$D$(x-3)^2 + 4$

2. 分母 $ax^2+bx+c$ 判别式 $\Delta < 0$ 时，正确策略是？

A硬做因式分解B配方成 $a(x+h)^2 + k$，走 $\arctan$ 标准形C用求根公式求出复数根再说D此积分无法计算

3. $\displaystyle\int\frac{du}{u^2+a^2} = $ ?

A$\arctan\dfrac{u}{a} + C$B$\dfrac{1}{a^2}\arctan\dfrac{u}{a} + C$C$\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{u}{a} + C$D$\ln(u^2+a^2) + C$

4. 计算 $\displaystyle\int\frac{x+3}{x^2+2x+5}\,dx$，第一步是？

A把分子拆成 $\tfrac{1}{2}(2x+2) + 2$：分母导数的倍数 + 纯常数B直接配方分母，整体套 arctan 公式C令 $u = x+3$D分部积分

5. 被积函数里出现 $\sqrt{a^2 - u^2}$，对应的标准积分是？

A$\arctan$ 型B$\arcsin$ 型：$\displaystyle\int\frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}} = \arcsin\frac{u}{a} + C$C$\ln$ 型D配不出标准形

本课小结

• 配方法把 $ax^2+bx+c$ 整成 $a(x+h)^2 + k$：加一半的平方再还回去；系数不为 1 先提（只提前两项）；负系数连负号一起收进括号；配完 3 秒展开验算
• 三张标准脸：$u^2+a^2 \to \frac{1}{a}\arctan\frac{u}{a}$（别忘 $\frac{1}{a}$）；$\sqrt{a^2-u^2} \to \arcsin\frac{u}{a}$（没有 $\frac{1}{a}$）；$u^2-a^2 \to$ 对数型（下一课推）
• 判别式罗盘：$\Delta<0$ 配方走 $\arctan$，$\Delta>0$ 留给部分分式，$\Delta=0$ 幂法则直办
• 分子拆两半：带 $x$ 的分子 = 分母导数的倍数（走 $\ln$）+ 纯常数（走 $\arctan$）——第 6 课流水线的关键工序
• 带系数的线性换元（$u=2x+1$）记得 $du = 2\,dx$，账要除回去

下一课暂时放下积分号，上一节纯代数课：多项式除法与部分分式分解——把有理函数拆成积木的手艺。拆完之后，第 6 课的总装流水线就能一口气打穿所有有理函数积分。