一阶偏导数 —— 冻结一个，求导另一个

本课导读

曲面上站着问"这里的斜率是多少"，问题本身就有歧义——朝东走和朝北走的坡度可以完全不同。偏导数的解决方案朴素而聪明：一次只问一个方向。朝 $x$ 方向的斜率叫 $\dfrac{\partial f}{\partial x}$，朝 $y$ 方向的叫 $\dfrac{\partial f}{\partial y}$。计算上更是好消息：把另一个变量当常数冻住，用你练了多年的单变量求导手艺照常开工。本课打通定义、计算与几何画面——它是 S7 下半场（切平面、链式法则、梯度、极值）人人要用的地基。预计 45 分钟。

🔧 30 秒回顾 · 本课要用的旧手艺（熟练可跳过）

① 链式法则（一维）：$\left(e^{u(x)}\right)' = u'(x)\,e^{u(x)}$、$(\sin u)' = u'\cos u$。微例：$\left(e^{3x}\right)' = 3e^{3x}$——例题 2 里冻结 $y$ 后就是这个形状。⚠️ 翻车点：内层导数 $u'$ 忘乘。

② 乘积法则：$(uv)' = u'v + uv'$。微例：$(x e^x)' = e^x + xe^x$。⚠️ 翻车点：只导了一个因子。

③ "常数的待遇"：常数因子随行不动，$\left(c\,g(x)\right)' = c\,g'(x)$；孤立常数项导为零。微例：$(5x^3)' = 15x^2$、$(7)' = 0$——偏导数里被冻结的变量享受的正是这套待遇。⚠️ 翻车点：把"常数因子"误当"常数项"整个抹零。

定义：差商极限的方向版

单变量导数是差商极限：$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$。二元函数在点 $(a, b)$ 处对 $x$ 的偏导数照抄这个模板——只动 $x$，$y$ 钉死在 $b$：

$$f_x(a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h,\, b) - f(a, b)}{h}$$

对 $y$ 的偏导数同理（只动 $y$）：$f_y(a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a,\, b + h) - f(a, b)}{h}$。

记号动物园（都是同一件事）：

$$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial x}, \qquad f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial y}$$

弯曲的 $\partial$（读"偏"或"partial"）专用于提醒："函数还有别的变量，此刻被我冻住了。"

计算法则一句话：求 $f_x$ 时，把 $y$ 整体当成常数（享受 🔧 工具箱 ③ 的待遇），按单变量求导；求 $f_y$ 时反过来。没有任何新公式要背——这是本课最好的消息。

例题 1 · 多项式热身

求 $f(x, y) = x^3 y^2 + y^3 - 5x$ 的两个一阶偏导数。

✅ 解法展开

求 $f_x$（冻结 $y$）：$x^3 y^2$ 中 $y^2$ 是常数因子 → $3x^2 y^2$；$y^3$ 是孤立常数项 → $0$；$-5x$ → $-5$：

$$f_x = 3x^2 y^2 - 5$$

求 $f_y$（冻结 $x$）：$x^3 y^2$ 中 $x^3$ 是常数因子 → $2x^3 y$；$y^3$ → $3y^2$；$-5x$ 是常数项 → $0$：

$$f_y = 2x^3 y + 3y^2$$

对照读一遍两个易错项：$y^3$ 在 $f_x$ 里是零（工具箱 ③ 翻车点的正身），$x^3 y^2$ 在两边都不为零（各有一个"活变量"）。

例题 2 · 链式与乘积上阵

求 $f(x, y) = e^{x^2 y} + \sin(xy)$ 的两个一阶偏导数，并求 $f_y(1, 0)$。

✅ 解法展开

求 $f_x$（🔧 工具箱 ①，内层对 $x$ 求导时 $y$ 是常数）：

$$f_x = \underbrace{2xy\,e^{x^2 y}}_{\text{内层 } x^2y \text{ 对 } x \text{ 导得 } 2xy} + \underbrace{y\cos(xy)}_{\text{内层 } xy \text{ 对 } x \text{ 导得 } y}$$

求 $f_y$：

$$f_y = x^2 e^{x^2 y} + x\cos(xy)$$

代值：$f_y(1, 0) = 1 \cdot e^0 + 1 \cdot \cos 0 = 1 + 1 = 2$。

体会一下：全程只用了一维链式法则，唯一的新动作是"看清此刻谁被冻住"。

几何解释：切片曲线的斜率

偏导数的画面藏在上上课的切片法里。求 $f_x(a, b)$ 的三步动画：

1. 用竖直平面 $y = b$ 切曲面 $z = f(x, y)$——得到一条切片曲线 $z = f(x, b)$（单变量函数！）
2. 在这条曲线上找到 $x = a$ 的点
3. $f_x(a, b)$ 就是切片曲线在该点的切线斜率

$f_y(a, b)$ 同理：换成 $x = a$ 的竖直平面去切。所以偏导数没有发明新几何——它就是老朋友"曲线切线斜率"在指定方向切片上的重演。

地形版画面：你站在山坡 $(a, b)$ 处，$f_x$ 是正东方向的坡度（正 = 上坡，负 = 下坡），$f_y$ 是正北方向的坡度。两个数合在一起，就是第 1 课"平面由两个方向斜率确定"里的那两个斜率——下一课的切平面已经在门口排队。

例题 3 · 读坡度

山的海拔为 $h(x, y) = 1000 - 2x^2 - 3y^2$（米，$x$ 向东、$y$ 向北）。站在 $(10, 5)$ 处：向东走是上坡还是下坡？向北呢？哪个方向更陡？

✅ 解法展开

$h_x = -4x$，$h_y = -6y$。代入 $(10, 5)$：

$$h_x(10, 5) = -40, \qquad h_y(10, 5) = -30$$

向东坡度 $-40$：下坡，每东行 1 单位海拔降 40 米；向北坡度 $-30$：也是下坡，降 30 米。比陡峭看绝对值：东向更陡。（"哪个方向全场最陡"这个更野的问题，要等第 7 课的梯度来回答——偏导数只管东和北两个正方向。）

✍️ 练习

练习 1 · 基本功四连

求下列函数的 $f_x$ 与 $f_y$：(a) $f = x^4 + x^2y^3 - 2y$　(b) $f = \dfrac{x}{y}$　(c) $f = \ln(x^2 + y^2)$　(d) $f = x e^{xy}$

✅ 参考答案

(a) $f_x = 4x^3 + 2xy^3$；$f_y = 3x^2y^2 - 2$。

(b) 写成 $x \cdot y^{-1}$：$f_x = \dfrac{1}{y}$；$f_y = -\dfrac{x}{y^2}$（对 $y$ 用幂法则，$x$ 是常数因子）。

(c) 链式：$f_x = \dfrac{2x}{x^2 + y^2}$；$f_y = \dfrac{2y}{x^2 + y^2}$（S0 复健过 $\ln u$ 的导数）。

(d) $f_x$ 要乘积法则（$x$ 与 $e^{xy}$ 都含 $x$，🔧 工具箱 ②）：$f_x = e^{xy} + xy\,e^{xy}$；$f_y$ 不需要（只有 $e^{xy}$ 含 $y$）：$f_y = x^2 e^{xy}$。

(d) 是最容易翻的一题：求 $f_x$ 时漏乘积、求 $f_y$ 时误上乘积，两个方向的坑各埋一个。

练习 2 · 定义域外的直觉检查

设 $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$（锥面）。求 $f_x$，并解释为什么它在原点没有偏导数。

✅ 参考答案

$f_x = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$（链式）。原点处用定义查：切片 $y = 0$ 给出 $z = \sqrt{x^2} = |x|$——绝对值函数在 0 处左右斜率 $\pm 1$ 不一致，单变量导数不存在，故 $f_x(0,0)$ 不存在。几何画面：锥面的尖点处没有确定的切线——"尖"是可导性的天敌，一维二维通用。

练习 3 · 经济学读义

某产品利润 $P(p, a) = -50p^2 + 800p + 40a - a^2$（$p$ 定价，$a$ 广告费）。求 $P_p(6, 10)$ 与 $P_a(6, 10)$，并各用一句话解读。

✅ 参考答案

$P_p = -100p + 800$，$P_a = 40 - 2a$。代入：$P_p(6, 10) = 200$，$P_a(6, 10) = 20$。

解读：广告费不动时，定价每提高 1 元，利润约增 200（还有涨价空间）；定价不动时，广告费每加 1 元，利润约增 20（投放仍有效但边际不高）。偏导数的应用语感："其他条件不变时，某因素的边际影响"——经济学里的"边际"就是偏导数。

📝 随堂测验

随堂测验0 / 5 题正确

1. 计算 $f_x$ 的操作规程是？

A把 $y$ 整体当常数，对 $x$ 用单变量求导手艺B把 $x$ 当常数，对 $y$ 求导C对 $x$ 和 $y$ 同时求导再相加D需要一套全新的求导公式

2. $f(x,y) = x^3y^2 + y^3$ 的 $f_x$ 是？

A$3x^2y^2 + 3y^2$B$3x^2 y^2$C$2x^3y + 3y^2$D$3x^2y^2 + 2x^3y$

3. $f_x(a, b)$ 的几何意义是？

A曲面在 $(a,b)$ 处的最大坡度B等高线的斜率C用平面 $y = b$ 切曲面所得切片曲线在 $x = a$ 处的切线斜率D曲面在该点的高度

4. $f = xe^{xy}$ 求 $f_x$ 时需要乘积法则，求 $f_y$ 时不需要，原因是？

A对 $y$ 求导从不需要乘积法则B$e^{xy}$ 对 $y$ 的导数为零C题目的特例，无规律可言D看含活变量的因子数：对 $x$ 而言 $x$ 和 $e^{xy}$ 都含 $x$（两个活因子）；对 $y$ 而言只有 $e^{xy}$ 含 $y$

5. 海拔 $h(x,y)$（$x$ 向东）在脚下点满足 $h_x = -40$，含义是？

A向北走每单位降 40 米B此处海拔为负C向东走是下坡，每走 1 单位海拔约降 40 米D向东走是上坡

本课小结

• 偏导数 = 方向限定版导数：$f_x$ 只动 $x$（$y$ 冻结），$f_y$ 只动 $y$；记号 $\partial$ 提醒"还有变量被冻住"
• 计算零新公式：被冻变量享受常数待遇（因子随行、孤立项归零）；链式、乘积照常，先侦察"谁是活变量"
• 几何：$f_x(a,b)$ = 切片 $y = b$ 上曲线在 $x = a$ 处的切线斜率；地形语感——$f_x$ 东向坡度、$f_y$ 北向坡度
• 应用语感："其他条件不变时的边际影响"
• 尖点无偏导（锥面原点）；两个偏导数恰是第 1 课平面公式里的两个斜率——下一课立刻兑现

下一课把两个偏导数装回平面公式，得到贴合曲面的切平面，顺带收获工程师最爱的线性近似：用一次乘加运算逼近任何光滑曲面。