单元测验：二元函数关卡

(a) 三样零件：$f(2,1) = 4 - 1 = 3$；$f_x = 2xy \Rightarrow f_x(2,1) = 4$；$f_y = x^2 - 3y^2 \Rightarrow f_y(2,1) = 1$。

(b) $L(1.9, 1.1) = 3 + 4(-0.1) + (0.1) = 2.7$。精确值：$1.9^2 \times 1.1 - 1.1^3 = 3.971 - 1.331 = 2.64$。误差 $0.06$——小步挪动，切平面可信。

(c) 最快方向 = 梯度方向：$\nabla f(2,1) = (4, 1)$，单位化 $\left(\tfrac{4}{\sqrt{17}}, \tfrac{1}{\sqrt{17}}\right)$；最大增长率 $|\nabla f| = \sqrt{17} \approx 4.12$。

自查点：切平面三零件齐不齐；估值时偏移量符号（$-0.1$ 与 $+0.1$）代对没有；(c) 答"方向"时给出的是单位向量。

$\nabla T = (-2x, -4y)$，在 $(1, 2)$ 处 $= (-2, -8)$。

(a) $\vec{v}$ 模长 5，单位化 $\vec{u} = \left(\tfrac{3}{5}, -\tfrac{4}{5}\right)$：

正值：这个方向在升温。

(b) 沿梯度 $(-2, -8)$，单位化 $\left(-\tfrac{1}{\sqrt{17}}, -\tfrac{4}{\sqrt{17}}\right)$；最大升温率 $|\nabla T| = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \approx 8.25$。

(c) $T(1,2) = 100 - 1 - 8 = 91$，等温线：$x^2 + 2y^2 = 9$（椭圆）。隐式求导：$2x + 4y\,y' = 0 \Rightarrow y' = -\tfrac{x}{2y}$，在 $(1,2)$ 处 $= -\tfrac{1}{4}$，切向量可取 $(4, -1)$。验证：

点积为零 ✅，梯度⊥等温线——椭圆同样服帖。

(a) 驻点方程组：$f_x = 3x^2 - 6y = 0 \Rightarrow y = \tfrac{x^2}{2}$；$f_y = 2y - 6x = 0 \Rightarrow y = 3x$。联立：$\tfrac{x^2}{2} = 3x \Rightarrow x^2 = 6x \Rightarrow x = 0$ 或 $6$（别约掉 0）。驻点 $(0, 0)$ 与 $(6, 18)$。

二阶零件：$f_{xx} = 6x$，$f_{yy} = 2$，$f_{xy} = -6$。

• $(0,0)$：$D = 0 \cdot 2 - 36 = -36 \Rightarrow$ 鞍点（扭曲项定罪）
• $(6,18)$：$D = 36 \cdot 2 - 36 = 36 \Rightarrow$ 第二问 $f_{xx} = 36 \Rightarrow$ 局部极小，$f(6,18) = 216 + 324 - 648 = -108$

(b) 先 $x$ 后 $y$：内层 $\int_0^2 (x + 2y)\,dx = 2 + 4y$；外层 $\int_0^1 (2 + 4y)\,dy = 2 + 2 = 4$。

换序：内层 $\int_0^1 (x + 2y)\,dy = x + 1$；外层 $\int_0^2 (x + 1)\,dx = 2 + 2 = 4$ ✅——Fubini 两序对账成功。